34. Работа сил электростатического поля. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля.

Потенциал. При перемещении зарядов в электростатическом поле силы, приложенные к зарядам, совершают работу. Как будет показано ниже, силы элек­тростатического поля обладают тем свойством, что работа, совер­шаемая ими при перемещении заряда, зависит не от того, по какому пути заряд перемещается, а зависит только от величины заряда и от его начального и конечного положений. Это свойство поля позволяет охарактеризовать любую точку поля с помощью особой функ­ции, называемой потенциалом точки поля. Работа перемещения заряда от точки к точке выражается через разность значений потен­циалов этих двух точек.

Рассмотрим сперва работу электрических сил в поле точечных зарядов.

Возьмем положительный заряд q0, кото­рый перемещается в поле заряда q из точки а в весьма близкую точку b (рис. 32). Заряд q пусть расположен неподвижно в некоторой точке О. Бесконечно малое перемещение Us заряда между точками а и b можно счи­тать прямолинейным и на этом перемещении пренебречь изменением силы /, действующей на заряд q0, и считать ее постоянной по величине и направлению. Согласно определению понятия работы, элементарная работа dA■ силы / на перемещении ds равна:

dA = fds • cos а,

где а — угол между направлением силы f (совпадающим с направле­нием напряженности Е) и направлением смещения ds. Опустим из точки b перпендикуляр на продолжение прямой Оа, тогда видно, что ds • cos а = Ос—Оа, но Ос, при бесконечно малом смещении ds мо­жет быть положено равным Ob, откуда ds • cos ol = Ob—Oa — dr, где dr—изменение расстояния между зарядами q и q0 при переме­щении заряда <7„ из точки а в точку Ь. Отсюда получаем для эле­ментарной работы dA выражение:

dA = fdr.         (1)

Сила / представляет собою кулонову силу взаимодействия заря­дов <70 и q\ ввиду малости смещения ds ее можно, как мы отметили, считать постоянной на всем перемещении ds и, следовательно, равной

 

Рис. 32. К определению работы перемещения за­ряда q„ па пути ds.

            <7<7о

г' '

гдег = Оа. Подставляя это значение / в выражение работы (1) найдем:

dA = dr.          (2)

Пусть теперь заряд qa перемещается из точки А, находящейся на расстоянии гг от заряда q, в точку В, находящуюся на расстоя­нии rs от него (рис. 33), и при этом пусть точки Л и В не близки

друг к другу. Для того чтобы опреде­лить работу на всем конечном переме­щении А В, разобьем его на бесконечно малые перемещения ds. На каждом из таких перемещений элементарная работа dA выразится формулой (2), а полная ра­бота А на всем пути АВ выразится сум­мой всех таких элементарных работ, т. е. интегралом, взятым в пределах от rt до гу.

35. Потенциал. Связь напряженности электростатического поля с потенциалом. Эквипотенциальные поверхности.

Потенциал и напряжённость — две локальные характеристики электростатического поля. То есть, это две характеристики — энергетическая и силовая — одной и той же точки поля.

Разумно предположить, что между ними должна существовать однозначная связь.

Для отыскания этой связи, вычислим работу электрической силы на элементарном перемещении dl заряда q в электростатическом поле 

Эквипотенциальные поверхности — понятие, применимое к любому потенциальному векторному полю, например, к статическому электрическому полю или к ньютоновскому гравитационному полю. Эквипотенциальная поверхность — это поверхность, на которой скалярный потенциал данного потенциального поля принимает постоянное значение (поверхность уровня потенциала). Другое, эквивалентное, определение — поверхность, в любой своей точке ортогональная силовым линиям поля.

Поверхность проводника в электростатике является эквипотенциальной поверхностью. Кроме того, помещение проводника на эквипотенциальную поверхность не вызывает изменения конфигурации электростатического поля. Этот факт используется вметоде изображений, который позволяет рассчитывать электростатическое поле для сложных конфигураций.

В (стационарном) гравитационном поле уровень неподвижной жидкости устанавливается по эквипотенциальной поверхности. В частности, приближенно можно утверждать, что по эквипотенциальной поверхности гравитационного поля Земли проходит уровень океанов^[1]. Форма поверхности океанов^[2], продолженная на поверхность Земли, называется геоидом и играет важную роль в геодезии. Геоид, таким образом является эквипотенциальной поверхностью силы тяжести, состоящей из гравитационной и центробежной составляющей.