1. Определение полиномов и операции с ними. Кольцо полиномов. Стандартная запись полиномов.

Определение полиномов: Пусть К – коммутативное кольцо с единицей, х – некоторая группа, не принадлежащая этому кольцу. Выражение вида (формальная запись) а₀х⁰+а₁х¹+а₂х²+…+а_nxⁿ, где , называется полиномом (многочленом) от одной переменной (от буквы х) над кольцом К.

– свободный член (слагаемое), где а₀ – нулевой коэффициент.

– старший коэффициент, n – степень полинома n=deg f(x)=deg (f(x)). 0x⁰- считается, что deg 0x⁰= . Если а₀х⁰,а₀ 0, то степень полинома равна нулю. Множество всех полиномов от одной буквы – К[x].

Определение: Два полинома называются равными, если:

1. m=n (a_i=b_i)

2. m>n (a_i=b_i) , (b_i=0)

3. m>n (a_i=b_i), (a_i=0)

Определение: Пусть , тогда их суммой называется полином .

Свойство: Множество <K[x], +> является коммутативной группой:

1. б.а.о. задана. f(x), g(x) K[x] (f(x)+g(x)) K[x] f(x)+g(x)= a_i ,b_i K (a_i+b_i)

2. операция ассоциативная f(x), g(x), h(x): (f(x)+g(x)+h(x))=((f(x)+g(x))+h(x)) :(f(x)+g(x)+h(x))= . ((f(x)+g(x))+h(x))=

3. (f(x)+0(x)=0(x)+f(x))=f(x) 0(x)=0x⁰=

4. f(x)+(-f(x))=(-f(x))+f(x)=0(x);

<K[x],+> - коммутативная? f(x) g(x) f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

f(x)+g(x)= =g(x)+f(x)

Определение: Пусть , тогда их произведением называется полином , .

d₀=a₀b₀

d₁=a₀b₁+a₁b₀

d₂=a₀b₂+a₂b₀+a₁b₁

………………………

d_n+m=a_nb_m

Свойство: Пусть <K[x], *> - полугруппа. Условия:

1. Б.а.о. f(x), g(x) K[x] f(x)*g(x) K[x] d_i K.

2. Ассоциативность.

Свойство: Пусть <K[x], +, *> - коммутативное кольцо с единицей.

1. <K[x], +>- коммутативная группа

2. <K[x], *> - полугруппа

3. Дистрибутивность: f(x)*(g(x)+h(x))=f(x)*g(x)+f(x)*h(x)

(g(x)+h(x))*f(x) =g(x)*f(x) +h(x)*f(x)

Определение: <K[x], +, *> называется кольцом полиномов от одной переменной (буквы) над кольцом К.

Замечание: В дальнейшем выражение вида а₀х⁰ будем отождествлять с а₀ (на операцию это не повлияет).

Определение: а, в К называются делителями 0, если а 0, в 0, а*в=0 ( в числовых множествах такого нет).

Свойство: Если в кольце К нет делителя нуля, то deg(f(x))*g(x))=deg f(x)+deg g(x) f(x)= , g(x)= a_n 0, b_m 0 f(x)*g(x)= d_n+m=a_n*b_m .

Свойство: Если К без делителей нуля, то и кольцо K[x] без делителей нуля.

2. Отношение делимости в кольце полиномов от одной переменной. Свойства.

Пусть везде К – коммутативное кольцо с единицей без делителя нуля.

Определение: f(x), g(x) K[x], g(x) 0. Говорят, что f(x) делится на g(x) (кратен g(x)), если .

Свойство: 1. Если f(x)=g(x)*h(x),то 1.

2. f(x)

Доказательство:

3.

(f₁(x)u₁(x)+f₂(x)u₂(x)) g(x)

4. .

Свойство: Если f(x) , где с – обратимый элемент кольца К.

Свойство: Обратимые элементы кольца K[x] – это обратимые элементы кольца К, только и только они.

Доказательство:

f(x) – обратимый в K[x]

a₀ – обратимый элемент в кольце К.

Необходимость: если - обратимый элемент, т.е.