3. Динамика материальной точки Задание №3.1. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рисунках. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты 1–3, 5, 6, 8–12, 17–23, 28–29) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6–9, 11, 13–15, 20, 21, 24, 27), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: т₁, т₂, т₃, m₄ – массы тел 1, 2, 3, 4; R₂, r₂, R₃, r₃ – радиусы больших и малых окружностей; i_2x , i_2, – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести; ,  – углы наклона плоскостей к горизонту; f – коэффициент трения скольжения;  – коэффициент трения качения.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 3.1. Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.

Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Таблица 3.1

Номер вари-анта	т1	т2	т3	m4	R2	R3	i2x	i2,			f	,см	s,м	Примечание
	кг				см		см		град
1	т	4т	1/5т	4/3т	-	-	-	-	60	-	0,1	-	2
2	т	1/2т	1/3т	-	-	30	-	20	30	45	0,22	0,2	2
3	т	т	1/10т	т	-	-	-	-	45	-	0,1	-	2
4	т	2т	40т	т	20	40	18	-	-	-	-	0,3	0,1	Массами звеньев АВ, ВС и ползуна В пренебречь
5	т	2т	т	-	20	15	18	-	60	-	0,12	-	0,28	Массой водила пренебречь
6	т	3т	т	-	-	28	-	-	30	45	0,1	0,28	1,5
7	т	2т	2т	-	16	25	14	-	30	-	-	0,2	2
8	т	1/2т	1/3т	-	-	30	-	-	30	45	0,15	0,2	1,75
9	т	2т	9т	-	-	30	-	20	30	-	0,12	0,25	1,5
10	т	1/4т	1/4т	1/5т	-	-	-	-	60	-	0,1	-	3
11	т	1/2т	1/4т	-	-	30	-	25	30	45	0,17	0,2	2,5
12	т	1/2т	1/5т	т	30	-	20	-	30	-	0,2	-	2,5
13	т	2т	5т	2т	30	20	26	-	30	-	-	0,24	2
14	т	1/2т	5т	4т	-	25	-	-	-	-	-	0,2	2	Массы каждого из четырех колесодинаковы
15	т	1/2т	4т	1/2т	20	12	18	-	60	-	-	0,25	1,5
16	т	1/10т	1/10т	1/10т	10	15	-	-	-	-	-	-	0,05	Массой водила пренебречь
17	т	1/4т	1/5т	1/10т	20	-	15	-	60	-	0,1	-	0,16	Шатун 3 рассматривать как тонкийоднородный стержень
18	т	3т	т	-	35	15	32	-	60	-	0,15	-	0,2	Массой водила пренебречь
19	т	1/3т	1/10т	т	24	-	20	-	60	-	0,15	-	1,5
20	т	2т	20т	-	20	15	16	-	30	-	0,1	0,2	0,2	Массами звеньев АВ, ВС и ползуна В пренебречь
21	т	т	2т	-	20	20	16	-	30	45	0,2	0,32	1,2
22	т	1/2т	1/4т	-	20	10	-	-	60	-	0,17	-	0,1	Массой водила пренебречь
23	т	т	1/10т	4/5т	20	-	18	-	30	-	0,1	-	1
24	т	3т	20т	-	20	30	18	-	-	-	-	0,6	0,08	Массами звеньев АВ, ВС и ползуна В пренебречь
25	т	1/3т	1/4т	-	16	20	-	-	-	-	-	-	0,04	Массой водила пренебречь
26	т	1/2т	т	1/3т	30	-	20	-	-	-	-	-	0,6	Массы и моменты инерции блоков 2 и 5 одинаковы. Шатун 3 рассматривать как тонкийоднородный стержень
27	т	т	6т	1/2т	20	20	16	-	30	-	-	0,2	2
28	т	2т	3т	-	20	-	14	-	60	-	0,1	-	0,1	Шатун 3 рассматривать как тонкийоднородный стержень
29	т	1/2т	3/10т	3/2т	26	20	20	18	30	-	0,12	-	2

Пример выполнения задания

Дано: – масса груза1, ,,м,,,,см,м. На рис. 15 показана механическая схема в начальном положении.

Найти: – скорость груза1 в конечном положении.

Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

(3.1)

где Т₀ и Т – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях;  сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещение системы из начального положения в конечное;  сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твёрдых тел, соединенных нерастяжимыми нитями и стержнями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т₀ = 0.

Следовательно, уравнение (3.1) принимает вид

(3.2)

Напишем кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, т. е. уравнения связей, при этом перемещения и скорости тел выразим соответственно через скорости и перемещения груза 1.

Скорость центра масс катка 3 равна скорости груза 1:

. (3.3)

Угловая скорость катка 3, мгновенный центр скоростей которого находится в точке касания катка с плоскостью

. (3.4)

Угловая скорость блока 2

. (3.5)

Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как алгебраическую сумму кинетических энергий тел 1, 2, 3:

. (3.6)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

. (3.7)

Кинетическая энергия блока 2, вращающегося вокруг оси Ax:

. (3.8)

Момент инерции блока 2 относительно оси Ax:

. (3.9)

Подставляя выражения (3.5), (3.9) в формулу (3.8), получаем

.

Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоское движение:

, (3.10)

где  момент инерции катка 3 относительно его продольной центральной оси :

. (3.11)

Подставляя (3.3), (3.4), (3.11) в формулу (3.10), получаем

. (3.12)

Кинетическая энергия всей системы:

. (3.13)

Найдём сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе на заданном ее перемещении. Покажем внешние силы, приложенные к системе (рис. 3.6):

для тела 1:

Работа сил тяжести G₁ :

(3.14)

Работа силы трения скольжения F_тр:

.

Так как

,

то

. (3.15)

для катка 3:

Работа силы тяжести G₃ будет отрицательной, т.к. начальное положение катка выше, чем конечное

. (3.16)

Работа силы сцепления катка , т.к. сила приложена в мгновенном центре скоростей катка.

Работа пары сил сопротивления качению катка 3:

где  момент пары сил сопротивления качению катка 3;  угол поворота катка 3.

Так как каток катится без скольжения, то угол его поворота

где S_C3 – перемещение центра тяжести С₃ катка 3.

В нашем случае перемещение центра масс катка 3 будет равно перемещению центра масс груза 1, т.е. S_C3 = S = 2,4 м.

Тогда работа пары сил сопротивления качению:

(3.17)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (14) – (17):

Согласно теореме (3.2), приравниваем значения и

,

откуда

.

Библиографический список

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1995. – 415 с.

2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1971. – Ч. 1. – 275 с.

3. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. – М.: Наука, 1971. – Ч. 1. – 460 с.

4. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 1983. – 532 с.

5. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. Учеб. пособие для вузов./ Под ред. А.А. Яблонского и др. – М.: Высшая школа, 1985. – 367 с.

6. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. – М.: Физматгиз, 1961. – Ч.1. – 457 с.

7. Мещерский Н.В. Сборник задач по теоретической механике. – М.: Наука, 1971. – 450 с.

8. Силков М.В. Кинематика. Методические указания. – ОмГТУ, 2004.

34