2. Кинематика материальной точки Задание 2.1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

По заданным уравнениям движения точки M установить вид ее траектории и для момента времени t=t₁ (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 2.1:Таблица 2.1

Номер варианта	Уравнения движения
1			½
2			1
3			1
4			2
5			1
6			½
7			1
8			1
9			2
10			1
11			½
12			1
13			1
14			2
15			1
16			½
17			1
18			1
19			1
20			0
21			1
22			¼
23			1
24			1
25			1
26			1
27			1
28			1
29			1

Пример выполнения задания

Дано:

, (2.1)

(x и y – в см, t и t₁ – в с).

Найти: 1) вид траектории;

2) для t=t₁ положение точки на траектории;

3) .

Решение:

1) Уравнение движения (2.1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключаем время t из уравнений (2.1).

Возводя обе части равенств в квадрат, а затем складывая равенства, получаем , т.е. траекторией точки М является окружность радиуса 2, показанная на рис. 2.1.

2) Определяем положение точки М в заданный момент времени t=1 с:

Вектор скорости точки

. (2.2)

Вектор ускорения

(2.3)

Здесь – орты осейи;– проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (2.1):

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

, (2.4)

,

,

и модуль ускорения точки:

, (2.5)

Модуль касательного ускорения точки

, (2.6)

или

; (2.7)

выражает проекцию ускорения точки на направление ее скорости. Знак «+» при означает, что движение точки ускоренное, направлениеисовпадают; знак «–» – что движение замедленное.

Вычисляем модуль касательного ускорения для заданного момента времени

Модуль нормального ускорения точки

. (2.8)

Если радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке неизвестен, то нормальное ускорение можно определить по формуле

. (2.9)

При движении точки в плоскости формула (2.9) принимает вид

.

Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:

. (2.10)

Воспользуемся в нашем случае формулой (2.10)

Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определим из выражения:

. (2.11)

Тогда

На рис. 2.1 показано положение точки М в заданный момент времени. Вектор строим по составляющими, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Векторстроим по составляющимии затем раскладываем на составляющиеи. Совпадение величини, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.