3. Исследования по основаниям математики в к XIX – первой пол. XX вв. И их влияние на становление формальных методов в информатике.

Платонизм — цель, к которой стремится математика и наука вообще — истина, математика — открытие истины (Фрейде). Бишоп — всякое математическое утверждение в конечном счёте выражает тот факт, что если мы выполним вычисление в множестве положительных чисел, мы получим положительный результат, т.е. смысл утверждения — поредура вычисления на множестве положительных чисел. В классической математике истина относится к сверхчувственному миру идей.

Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.

Вопрос о том, считать ли конструктивными объектами некие идеальные сущности или материальные оъекты, без разницы. Ж. П, Шанже — математические объекты есть объекты разума, существующие исключительно в разуме самих математиков, а важным свойством этих объектов является лишь одно — мы можем передать эти объекты друг другу во всех деталях.

Конструктивизм понимает математику не как процесс открытия истины, а как процесс изобретения, конструирования (Ж. П. Шанже). Э. Бишоп утверждал, что не стоит спрашивать о том, является ли какое-либо утверждение истинным до того, как понятен его смысл (смысл по Бишопу — выполнение вычисления на множестве натуральных чисел). Д. Кнут объявляет вопрос о том, что алгоритмизируемо, главным философским вопросом, ибо с позиций конструктивизма он эквивалентен вопросу «что истинно». По Канту в каждой науке науки столько, сколько в ней математики. Кнут говорит, что по сути мы можем утверждать, что мы что-то познали лишь в той мере, в какой мы можем это знание передать компьютеру.

Х. Дрейфус — пример с ездой на велосипеде. В принципе мы можем написать уравнение, описывающее езду на велосипеде. Но человек не только не знает физического уравнения, он даже вряд-ли руководствуется эвристическим правилом, он опирается на телесные ощущения, часто на неосознанном уровне. Не всё знание можно записать в виде инструкции.

Если мы понимаем смысл утверждения через процедуру вычислений, тогда у нас открывается прямой логический выход на гипотезу физической символьной системы, т.е. бывает ИИ. Доказательство по Бишопу — всякое убедительное рассуждение, а математика — аппеляция к здравому смыслу. Получается переход к позиции Минского, согласно которому в процессе обучения математики не стоит уделять внимание формальным системам, а стоит сосредоточить внимание на совокупности моделей, которые обеспечивают вычислительные процедуры. Аристотель — логика — инструмент мышления. Д. Кнут — инструмент мышления есть язык, математика и информатика.

4. Теорема к. Геделя о неполноте арифметики. Ее философское и методологическое значение в контексте исследований по кибернетике и информатике.

Результаты Курта Гёделя в свете проблем информатики: он доказал 2 теоремы, которые разрушили программу финитизма в основании математики, пропагандируемую Гильбертом. Сие есть одно из самых фундаментальных открытий науки 20-го столетия. Некоторые авторы - результаты свидетельствуют о невозможности ИИ, и об ограниченности формальных методов науки.

Теоремы Гёделя:

Первая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), существует такая замкнутая формула F, что ни F, ни !F не являются выводимыми в этой теории.

Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой. При этом, для новой теории (с увеличенным количеством аксиом) также будет существовать недоказуемое и неопровержимое утверждение.

Вторая теорема Гёделя о неполноте

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т.д.

Караваев — теорему Гёделя трактуют как результат, ограничивающий возможости человеческого познания вообще, но это не так — теорема Гёделя свидетельствует об открытости мира для нашего познания — если мы возьмём недоказуемую формулу и прибавим её к набору аксиом, получим новую теорию.

Цилищев — математик никогда не имеет дела в своей реальной работе с бесконечным количеством утверждений, поэтому беспокоиться о противоречивости некоторой системы в общем-то не требуется. Ему не надо думать о том, что где-то на бесконечном наборе высказываний ему может встретиться противоречие, ему надо, чтобы тот фрагмент знания, с которым он работает, был непротиворечив. Так же и компьютер — он не будет порождать бесконечное.

Каждая формализация сама порождает прецедент, входящий в идеальное множество, но не подходящий под нее саму. Более того, таким свойством обладает и каждая вычислимая последовательность формализаций. Любая непротиворечивая теория сама помогает построить пример неразрешимого в ней истинного утверждения. (c) Непейвода