Векторний добуток векторів

Означення. Векторним добутком векторів a та b називається вектор , який задовольняє такі умови:

1. вектор перпендикулярний до векторів a і b;

2. довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a та b;

3. якщо звести вектори a, b та до спільного початку, то спостерігач, який міститься в кінці вектора , бачитиме найкоротший поворот від вектора a до вектора b таким, що відбувається проти годинникової стрілки (рис. 11).

Рис. 11

З означення векторного добутку випливають такі його властивості

Знайдемо векторний добуток векторів

.

Запишемо таблицю множення ортів i, j, k:

Виконавши відповідні перетворення, дістанемо:

Векторний добуток векторів a та b можна подати у вигляді визначника:

( 1)

З найдемо площу просторового трикутника з вершинами А(1, 2, 1), В(4, 3, 2), С(2, 4, 4).

 Позначаючи вектори

,

обчислюємо їх векторний добуток:

Площа S трикутника АВС дорівнює половині площі паралело- грама, побудованого на векторах a, b:

.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Число називають мішаним добутком векторів a, b та c. Мішаний добуток не є принципово новим математичним поняттям, оскільки процедура його обчислення зводиться до послідовного знаходження скалярного та векторного добутків. Попри це, вивчення мішаного добутку як окремого математичного об'єкта є дуже доцільним, оскільки він часто зустрічається при розгляді різноманітних задач і має низку властивостей, що спрощують їх розв'язання Геометричний зміст: Мішаний добуток векторів правої трійки дорівнює об'єму V паралелепіпеда, побудованого на векторах-співмножниках, зведених до спільного початку.

 Справді, позначимо .

Вектор d перпендикулярний до основи паралелепіпеда, а довжина його дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах a та b як на сторонах (рис. 12).

Рис. 12

Висота h паралелепіпеда дорівнює . Отже, об’єм його обчислюємо так:

Оскільки вектор d може бути напрямлений у протилежний бік, то . 

(1)

Звідси маємо:

.

.

З найдемо об’єм V тетраедра з вершинами А(1, 2, 3), В(4, 4, 4), С(2, 6, 4), D(2, 3, 6).

 Розглянемо вектори

і запишемо їх мішаний добуток:

.

Шуканий об’єм тетраедра АВСD становить від об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c. Отже,

. 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Використана література:

1. Вища математика. Ч 1.За загальною редакцією П.П.Овчинникова.Київ 2003р.

2. М.В. Грисенко Математика для економістів. Навчальний посібник. Київ 2007р.

3. В.Т. Лисичкин Математика .Москва 1991г.

4. В.М. Лейфура Математика. Київ 2003р.

5. И.И. Математика для техникумов. Москва 1989 г.

6. Вища математика: Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення дисципліни (К.Г. Валєєв, І.О.Джалладова, О.І. Лютий та інш. – К.: КНЕУ, 1999.

7. В.О. Коваль Практикум з вищої математики. ЖДТУ, 2008

21