Скалярний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком векторів a і b називається число , що дорівнює добутку довжини цих векторів на косинус кута між ними (рис. 9):

(1)

Рис. 9

Нехай — проекція вектора b на вісь, паралельну вектору a. Тоді маємо:

(2)

Останнє співвідношення означає, що скалярний добуток двох векторів дорівнює модулю одного з них, помноженому на проекцію другого вектора на напрям першого.

Якщо кут між векторами a та b гострий, то ; якщо тупий, то ; якщо прямий, то . Коли один із векторів a, b є нульовим, то його можна вважати ортогональним до будь-якого іншого вектора.

Наведемо аналітичні властивості скалярного добутку, що випливають із його означення.

Остання рівність є наслідком формули (2) і властивості проекцій суми векторів:

Отже, у разі скалярного множення суми векторів на вектор можна розкривати дужки. Нехай вектори а та b подано через їх проекції на координатні осі:

Запишемо таблицю скалярного множення для одиничних векторів i, j, k — ортів системи координат:

Перемноживши скалярно вектори a та b, знайдемо їх скалярний добуток у проекціях на координатні осі:

(3)

Звідси маємо:

Знаючи проекції векторів а, b, можна знайти кут між цими векторами:

Д ано просторовий трикутник з вершинами А(1,2,–1), В(2, 4, 1), С(3, 0, 0). Знайдемо кут при вершині А.

 Розглянемо вектори

і з їх скалярного добутку визначимо косинус шуканого кута:

.

Оскільки скалярний добуток векторів a, b дорівнює нулю, то кут при вершині А прямий. 

Позначимо , ,  кути між осями координат х, у, z та вектором a. Ці кути називаються напрямними кутами. Проекції вектора a на координатні осі подаються так:

(4)

Величини називаються напрямними косинусами вектора a. Згідно з (4) маємо:

(5)

Р озглянемо вектор a у площині ху, який утворює кут 60 з віссю х і кут 30 з віссю у. Знайдемо напрямні косинуси вектора a:

 . 

Д оведемо теорему косинусів для трикутника.

 Позначивши сторони трикутника векторами a, b, c (рис. 10), подамо вектор c через вектори a та b: c = b – a. Далі, виконавши перетворення, дістанемо шукану залежність — відому теорему косинусів:

Рис. 10



Дії над векторами

1. Координати вектора А(х_1; у_1; z₁) , B (х_2; у_2; z₂) = ( x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁)

2. Довжина вектора (модуль (х;у;z) ׀ ׀ =

або абсолютна величина)

3. Відстань між двома А(х_1; у_1; z₁) , B (х_2; у_2; z₂) ׀АВ׀

=

точками

4. Сума векторів (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂) + = (х_{1 +} х_2; у₁₊ у_2; z₁₊ z₂ )

5. Різниця векторів (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂) − = (х_{1 -} х_2; у_1- у_2; z_1- z₂ )

6. Множення вектора (х₁;у₁;z₁) k· = ( k х₁; k у₁; k z₁ )

на число k- довільне число

7. Скалярний добуток (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂) · = ( х₁· х_{2 +} у₁ ·у_{2 +} z₁· z₂ )

векторів

8. Кут між векторами (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂)

9.Умова перпендикулярності (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂) · = 0

векторів

х₁· х_{2 +} у₁ ·у_{2 +} z₁· z₂ = 0

10. Умова колінеарності (х₁;у₁;z₁) , (х_2; у_2; z₂)

векторів

11. Координати середини А (х₁;у₁;z₁) , В(х_2; у_2; z₂)

відрізка AB АС=СВ

;

.

Ортогональність.

Вектори є ортогональними тоді і тільки тоді, коли їхній скалярний добуток дорівнює нулю.

Інколи замість цього терміну використовують "перпендикулярність", проте слід враховувати, що нульовий вектор ортогональний будь-якому вектору, але поняття перпендекулярності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.

Колінеарність

Вектори є колінеарними тоді і тільки тоді, коли їхній векторний добуток дорівнює нулю.

Часто замість цього терміну використовують термін "паралельність", проте слід враховувати, що нульовий вектор коллінеарний будь-якому вектору, але поняття паралельності для нього не визначене, оскільки не визначений кут між нульовим і іншим вектором.