Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Бердичівський коледж промисловості, економіки та права
Волошина З. П.
Методична розробка
з дисципліни « Вища математика»
на тему: «Векторний та мішаний добуток векторів»
для студентів другого курсу спеціальності 5.05050302
« Технологія обробки матеріалів на верстатах і автоматичних лініях»
Бердичів 2012
Автор-укладач З.П. Волошина
Методична розробка з дисципліни «Вища математика» на тему: « Векторний та мішаний добуток векторів»
У даній методичній розробці викладено, у розширеному вигляді, матеріал щодо вивчення векторів.
Повторено матеріал шкільного курсу геометрії щодо вивчення векторів: означення вектора, його довжини, поняття рівності векторів, які вектори називаються протилежними, нульовими; розглянуто суму, різницю векторів та множення вектора на число. Систематизовано в таблицю формули векторів. Окремим пунктом розглянуто скалярний добуток векторів та його властивості.
У методичній розробці, у стислій формі і лише в обсязі, необхідному для розв’язування задач, викладено теоретичні відомості про векторний і мішаний добуток векторів. Детально наведені приклади розв’язування задач на закріплення цього матеріалу, що вимагає навчальна програма з курсу вищої математики. Запропоновані завдання для самостійного опрацювання студентами..
Розробка розрахована для студентів другого курсу спеціальності «Технологія обробки матеріалів на верстатах і автоматичних лініях».
Розглянуто на засіданні циклової комісії
фізико-хіміко-математичних дисциплін
Протокол № від 2012р.
Голова циклової комісії:
О.О.Горленко.
Зміст
Вектор. Основні поняття та означення.
ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ ВЕКТОРІВ .
МНОЖЕННЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО.
ПОДІЛ ВІДРІЗКА В ЗАДАНОМУ ВІДНОШЕННІ.
СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ.
ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ.
ПРИКЛАДИ РОЗВ´ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.
МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ.
ПРИКЛАДИ РОЗВ´ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ.
ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ´ЯЗУВАННЯ .
Вектори
Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана і ірландського математика В. Гамільтона; потім воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. У сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.
Геометричний вектор — у фізиці і математиці - величина, яка характеризується числовим значенням і напрямком. У фізиці існує чимало важливих величин, котрі є векторами, наприклад сила, положення, швидкість, прискорення, кутовий момент, імпульс, напруженість електричного і магнітного полів. Їх можна протиставити іншим величинам, таким, як маса, об’єм, тиск, температура та густина, які можна описати звичайним числом, їх називають «скалярами». Графічно вектори зображають у вигляді напрямлених відрізків певної довжини . Наприклад, для графічного представлення сили величиною два ньютони треба намалювати відрізок прямої довжиною дві одиниці в напрямку дії сили. Стрілка вказує, що сила діє , наприклад, від точки A до точки B.
Означення. Векторною величиною, або вектором (у широкому розумінні), називається будь-яка величина, що має напрям (наприклад, сила, що діє на матеріальну точку).
Означення. У геометрії вектором (у вузькому розумінні) називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка вказується стрілкою. Розрізняють початок і кінець вектора.
Означення. Два вектори називаються рівними між собою, якщо кожний із них можна дістати паралельним перенесенням іншого.
Рівні
вектори є паралельними (колінеарними),
мають один і той самий напрям і однакову
довжину. Довжина вектора а
називається також абсолютною
величиною,
або модулем,
вектора і позначається
.
Означення. Два паралельних вектори, що мають однакові довжини, але протилежні напрямки, називаються протилежними.
Означення. Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо він має нульову довжину, тобто його кінець збігається з початком.
На письмі вектор позначається напівжирним шрифтом.
Нульовий вектор - на прямій (на площині, в просторі) це вектор в якому координати початку і кінця збігаються. Його довжина рівна нулю , напрям не визначається. Вважається, що нульовий вектор є одночасно паралельний і перпендикулярний до будь-якої площини, прямої чи вектора. В будь-якому іншому векторному просторі - це вектор модуль якого рівний нулю.
Багато алгебраїчних дій мають свої аналоги і для векторів: вектори можна додавати, віднімати, множити і ділити. Для цих операцій діють багато правил алгебри, як, наприклад, комутативність, асоціативність та дистрибутивність (віднімання трактується як особливий випадок додавання).
Додавання та віднімання векторів
Щоб знайти суму двох векторів а і b, сумістимо початок вектора b з кінцем вектора а.
Означення. Сумою a + b векторів a та b називається вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець — із кінцем вектора b (рис. 1).
Рис. 1 Рис. 2
Додавання векторів комутативне, тобто для довільних векторів a і b справджується рівність (рис.2)
a + b = b + a. (1)
Додавання векторів асоціативне, тобто для будь-яких векторів a, b, c виконується рівність
(a + b) + c = a + (b + c). (2)
Цю властивість, що випливає з означення суми векторів, унаочнює рис. 3.
Рис. 3.
Віднімання векторів — операція, обернена до їх додавання. Різниця b – a векторів a і b являє собою вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець — із кінцем вектора b (рис. 4).
a + (b – a) = b
Рис. 4.
Для будь-яких векторів a, b виконуються нерівності:
.
Суму двох векторів з однаковим початком можна знайти геометрично за допомогою правила паралелограма.
Розглянемо довільний вектор a і вісь х.
Означення. Якщо вектор a утворює кут з віссю х (рис. 5), то проекцією вектора а на вісь називається величина
.
(3)
Рис. 5
Якщо х1 — координата проекції початку вектора, а х2 — координата проекції кінця вектора на вісь х, то
(4)