Билет №16 частотные характеристики аср
Важное значение при описании линейных стационарных (звеньев) имеют частотные характеристики. Они получаются при рассмотрении вынужденных движений системы (звена) при подаче на её вход гармонического воздействия. Определяют поведение объекта в частотной области при подаче на его вход гармонического сигнала: x(t) = x max sinɷt, где ω = 2πf = 2π /T - круговая частота сигнала, f - частота, T - период повторения сигнала, хmax –амплитуда сигнала. На выходе линейного объекта также возникают гармонические колебания той же частоты, но с другой амплитудой и фазой (рис. 6):
y
(t)=ymax(ɷt+φ);
Значения ymax и ϕ зависят от частоты входного сигнала. Поскольку нас интересует изменение сразу двух величин – амплитуды и фазы, частотные характеристики удобно рассматривать в комплексной
плоскости. Гармонический входной сигнал изображается на омплексной
плоскости вектором x( jω) , длина (модуль) которого равен амплитуде
хmax, а угол наклона (аргумент) равен фазе колебаний ωt (рис. 7):
x(t)∞xmax(ɷ)ejɷt=x(jɷ) (Символ ∞ в данном случае означает «изображается»). Аналогично выходной сигнал объекта y(t) изображается в комплексной плоскости вектором y( jω) :
y( t) ∞ymax(ɷ) ej(ɷt+φ)=y ( jɷ) Изображения x( jω) и y( jω) называются изображениями по Фурье (спектрами Фурье) гармонических сигналов x(t) и y(t). Отношение изображений Фурье выходного гармонического сигнала к входному называется частотной передаточной функцией (ЧПФ) или комплексной частотной характеристикой W( jω) :
Модуль частотной передаточной функции A(ω ) на частоте ω определяет коэффициент передачи объекта на данной частоте, ϕ (ω ) – сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами на частоте ω . Передаточная функция есть функция комплексной переменной p =α + jω . Частотная передаточная функция есть функция мнимой переменной jω . Следовательно, частотная передаточная функция есть частный случай передаточной функции, когда переменная р принимает
чисто мнимое значение jω . Поэтому формально выражение для частотной передаточной можно найти, заменяя в передаточной функции W( p) переменную р на jω , т.е. полагая p = jω :
В чём же разница между передаточной функцией и частотной передаточной функцией? Передаточная функция отражает поведение объекта регулирования
или любого динамического звена в динамике при произвольной форме входного воздействия. Частотная передаточная функция отражает поведение объекта (звена) лишь в установившемся режиме гармонических колебаний. Таким образом, частотная передаточная функция есть частный случай передаточной функции (так же, как мнимая переменная jω есть частный случай комплексной переменной р). Частотную передаточную функцию записывают в алгебраической форме (декартовых координатах):
W( jω) = P(ω) + jQ(ω),
P(ω) = Re[W( jω)]; Q(ω) = Jm[W( jω ],
либо в показательной форме (полярных координатах):
Годограф вектора W( jω ) (график, описываемый концом вектора W( jω ) при изменении частоты от о до ∞ ) называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ). АФХ показывает, как изменяются отношения амплитуд и сдвиг по фазе между выходным и входным сигналами при изменении частоты входного сигнала (рис. 8). Зависимости отношения амплитуд выходного и входного сигналов A(ω ) и сдвига по фазе между выходным и входным сигналами ϕ (ω ) от
частоты называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками соответственно (рис. 9). АФХ содержит такую же информацию об объекте (звене), как АЧХ и ФЧХ вместе взятые.
