3.2 Классическая теория магнитного резонанса

Из механики известно, что изменение момента количества движения равно моменту действующих сил. Для спина, обладающего моментом и находящегося в поле , справедливы выражения [3.1]

где - вектор, направленный -но и . Покажем, что вектор будет описывать конус вокруг вектора (рис.3.2) с постоянным углом при вершине, а вращение будет происходить с частотой против часовой стрелки, если смотреть по направлению .

Рис.3.2 Частица с магнитным моментом в магнитном поле .

Для этого представим последнее уравнение в проекциях по осям в системе координат , получим

(3.8)

Направим вектор вдоль оси т.е. Тогда выражения (3.8) упростятся

(3.9)

Из первых двух уравнений (3.9) следует уравнение относительно

(3.10)

Решая (3.10) с учетом получим

Аналогично, разрешая (3.9) относительно , получаем

Из третьего уравнения (3.9) следует

Здесь – постоянные интегрирования.

Т.о. проекция вектора на плоскость равна

и вращается с частотой против часовой стрелки, если смотреть из начала вектора . Частота называется ларморовой частотой прецессии вектора вокруг вектора .

Рассмотрим случай, когда кроме постоянного магнитного поля на частицу действует ещё переменное поле

в плоскости, перпендикулярной вектору . Если - поле с круговой поляризацией, то при совпадении направления вращения поляризации с направлением прецессии оно взаимодействует с магнитной частицей. В случае, когда поле линейно поляризовано , его можно представить в виде двух составляющих с круговыми поляризациями и постоянными амплитудами , вращающимися в противоположных направлениях с частотой . Взаимодействует с вектором только одна составляющая , которая вращается в том же направлении

поэтому вторую составляющую, вращающуюся в противоположном направлении

при расчетах можно исключить. В этом случае суммарное магнитное поле, с которым взаимодействует частица, имеет вид

где – орты.

Зависимость от времени можно исключить, воспользовавшись вращающейся системой координат . Новая система координат вращается с частотой вокруг оси в ту же сторону, что и (или ). Из механики известно, что переход в новую систему координат должен осуществляться по правилу

(3.11)

Здесь вектор направлен противоположно оси . Предположим, что совпадает с , тогда , а суммарное поле

при этом (3.11) примет вид

	(3.12)

Т.о. во вращающейся системе координат вектор движется так, как если бы на него действовало эффективное магнитное поле , т.е. он прецессирует вокруг с угловой скоростью

(3.13)

На рис. 3.3 а частота переменного поля отличается от резонансной , а частота прецессии определяется соотношением (3.13).

Рис. 3.3 Магнитный момент частицы во вращающейся системе координат.

На рис. 3.3 б выполняется условие точного резонанса, , при этом, частота прецессии в соответствии с (3.13) равна

(3.14)

Отметим, что величина много меньше . В экспериментальных исследованиях

Поведение вектора намагниченности образца , являющегося суммарным вектором

несколько отличается от поведения отдельного магнитного момента . Совокупность располагается в пространстве хаотично. Но если образец поместили в поле , то проекция намагниченности будет пропорциональна разнице числа спинов, сориентированных по полю и против поля, среднее значение , в то время как усредненные значения проекций в плоскости, перпендикулярной , (в отличие от соответствующих компонент отдельного вектора ).

Т.о. вектор намагниченности определяется числом , удовлетворяющим равенству

(3.15)

В формуле приняты обозначения

– равновесная разность населённостей (устанавливается при термодинамическом равновесии системы спинов с решёткой в отсутствие поля);

– время спин-решётчатой (или продольной) релаксации;

– средняя вероятность перехода между уровнями

(3.15) описывает поведение системы в неравновесном состоянии (когда включается или выключается поле ).

Равновесное значение будет устанавливаться в соответствии с (3.15)

(3.16)

где – равновесное значение намагниченности,

– статическая ядерная магнитная восприимчивость.

Равновесные значения равны нулю и стремятся к этому значению с характеристическим временем , называемым временем спин-спиновой (или поперечной) релаксации

	(3.17)
	(3.18)

Уравнения (3.16)-(3.18), описывающие магнитный резонанс в макроскопических средах, впервые использовались Блохом Ф.

С учётом движения магнитного момента системы частиц под действием внешнего магнитного поля уравнения Блоха во вращающейся системе координат примут вид

(3.19)

В лабораторной системе координат компоненты вращаются вокруг оси c угловой частотой . Если установить приёмную катушку в плоскости , то в ней будет наводиться ЭДС. При этом в зависимости от сдвига фаз между переменной напряжённостью и ЭДС, наводимой в катушке, можно наблюдать сигнал поглощения, пропорциональный , или сигнал дисперсии, пропорциональный (рис. 3.4).

Рис. 3.4 ЭДС в приемной катушке, закрепленной в лабораторной системе координат