Алгебра логики. Основные логические операции

Логика – этот наука о способах рассуждения, то есть о том, как делать верные умозаключения, пользуясь доступной информацией.  Важным понятием логики является высказывание.

Высказыванием называется утверждение,  о котором можно сказать, истинно оно или ложно.. Высказывание может быть истинно или ложно в зависимости от конкретной ситуации. Так, например,  высказывание “10 + 11 = 101” истинно, если числа записаны в двоичной системе счисления и ложно в остальных случаях.

Логика не занимается анализом ситуаций, о которых говорится в высказываниях, но в ней содержатся правила, позволяющие  определить истинность составных высказываний, построенных из простых высказываний с помощью логических операций.

Основными логическими операциями являются “ИЛИ” (дизъюнкция), “И” (конъюнкция) и “НЕ” (инверсия).

Примеры сложных высказываний:  “я сегодня гулял И купил книгу”, “на улице ветер И нет дождя”, “он приехал вчера ИЛИ он приедет завтра”. Подчеркиванием выделены простые высказывания, входящие в состав составных.

Правила применения основных логических операций. Обозначения.

Поскольку для применения логических операций имеет значение лишь истинность или ложность высказываний, а не их содержание, то можно применить алгебраический подход, заменив высказывания логическими переменными, обычно обозначаемыми латинскими буквами.

Логические  переменные могут принимать одно из двух значений “истина” или “ложь”, обозначаемые для краткости И и Л соответственно.

Курсив используется для того, чтобы не путать обозначение  для “истина” И с названием операции И. Расставляя между логическими переменными знаки логических операций, можно конструировать логические выражения. В логические выражения наряду с переменными могут входить и логические значения, так же как входят числа в обычные алгебраические выражения.

Примеры логических выражений: Л; AVB; A ; (AVB) & C; AV (И&C).

Название	Синонимы названия		Обозначения
“ИЛИ”	дизъюнкция	логическое    сложение	V
“И”	конъюнкция	логическое    умножение	&
“НЕ”	инверсия	отрицание	– (горизонтальная черта сверху) или

Таблицы истинности логических выражений

Тот факт, что логическое выражение X, в которое входят логические переменные A₁, A₂, …,A_n, принимает значение P₀ при A₁ = P₁; A₂ = P₂; …; A_n = P_n, (P_i = {И,Л} для  i=0,…, n), можно записать в виде таблицы:

A1	A2	…	An	X(A1, A2, …, An)
P1	P2	…	Pn	P0

Замечание: запись X(A₁, A₂, …, A_n) означает, что значение выражения X зависит от значений входящих в него переменных A₁, A₂, …,A_n.

Если в таблице перечислены все возможные сочетания значений переменных, входящих в логическое выражение, и для каждого сочетания приведены значения этого выражения, то такая таблица называется таблицей истинности логического выражения.

Если число переменных в логическом выражении равно n, то число строк в его таблице истинности (не считая заголовка) равно 2ⁿ.

Для того, чтобы определить логическую операцию, достаточно указать ее результат для всех возможных комбинаций значений высказываний, над которыми она выполняется. Это можно сделать с помощью таблицы истинности.

Таблицы истинности основных логических операций:

Инверсия: Дизъюнкция: Конъюнкция

A	А	A
И	Л	И
Л	И	Л

A	B	A & B
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	Л

A	B	A v B
И	И	И
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Порядок выполнения логических операций: