4.6 Закон Дальтона

Давление газа не зависит от сорта молекул. Если имеем смесь нескольких

газов, концентрация молекул которых n_01, n_{02, …} n_0п. Концентрация смеси этих газов n₀ = , тогда, согласно следствию из основного уравнения молекулярно-кинетической теории, давление смеси газов равно: p = n₀kT. Подставляя вместо n₀ её значение, получим для результирующего давления смеси газов выражение:

_{p = n01kT + n02kT + …+ n0п kT = р1 +р2 +.…+ pп. (4.21)}

Давления р₁ = n₀₁kT_{, …} p_п = n_0пkT называют парциальными давлениями. Например, р₁ – давление, которое оказывал бы первый газ, если бы он один

присутствовал в данном сосуде в том же количестве. Таким образом: в случае идеальных газов давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений газов составляющих смесь: р = . Это утверждение называется законом Дальтона.

4.7 Статистические распределения

4.7.1 Закон распределения молекул по скоростям (распределение Максвелла)

При рассмотрении предыдущих вопросов предполагалось, что все

молекулы имеют при данной температуре одинаковую скорость теплового движения. На самом деле молекулы могут обладать любыми скоростями, и существует определённый закон распределения молекул по скоростям. Ввиду полной беспорядочности движения молекул и огромного их числа нет возможности судить о скорости каждой молекулы в любой момент вре­мени. Можно лишь определить число молекул, скорости которых лежат в определенном интервале скоростей.

Теоретически задачу о распределении молекул идеального газа по скоростям поступательного движения решил Максвелл в 1860 году.

Пусть в сосуде постоянного объема V находится однородный идеальный газ, n – общее число молекул этого газа. Температура во всех частях сосуда одинакова. Внешние воздействия отсутствуют. Максвеллом была поставлена задача: определить, какое число молекул dn из общего числа молекул n обладают скоростями, численные значения которых лежат в интервале от υ до υ+ dυ, причём υ может иметь любые значения. С помощью методов теории вероятностей Максвелл получил следующий закон распределения молекул по скоростям:.

_{, (4.22)}

где k - постоянная Больцмана; Т —абсолютная температура; т₀ - масса одной молекулы. Из уравнения (4.22) следует, что при

υ → 0 dn → 0;

υ → ∞ dυ → 0;

dυ → 0 dn → 0.

Таким образом, число молекул с очень малыми и очень большими скоростями

невелико. Так как функция n = f (υ) чётная относительно υ, то она имеет максимум. Так как при dυ→0 dn → 0, то нет молекул с точно заданной скоростью.

Деля обе части соотношения (4.22) на ndv, получим:

. (4.23)

Функция (4.23) называется функцией распределения молекул по скоростям - функцией распределения Максвелла.

Функция распределения молекул по скоростям дает отно­сительное число

м олекул, скорости которых заключены в единичном интерва­ле скоростей из области от υ до (υ + d υ).

График функции распределения Максвелла при постоянной температуре показан на рисунке 49. Доля молекул газа dn/n , ско­рости которых заключены в бесконечно малом интервале от υ до ( υ + dυ), численно равна площади заштрихованного прямоугольни­ка. Площадь, ограниченная кривой распределения и осью аб­сцисс, должна быть, очевидно, принята равной единице, так как она численно равна доле молекул, скорости которых имеют всевозможные значения от 0 до . Этому условию удовлетворяют все n молекул.

= f(υ) d υ,

. (5.24)

Скорость υ_В, при которой функция Максвелла достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью.

Кривая несимметрична относительно υ_В: правая часть кривой более пологая, чем левая. Следовательно, площадь между полого спадающейся частью кривой Максвелла и осью абсцисс больше, чем площадь между крутой левой частью кривой и осью абсцисс. Это означает, что в газе больше «быстрых» молекул, со скоростями, превышающими наивероятнейшую, чем «медленных» молекул, со скоростями, меньшими наивероятнейшей.

Закон распределения мо­лекул по скоростям позволяет подсчитать величину и других характеристических скоростей молекул – среднюю арифметическую  υ и среднюю квадратичную скорости молекул  υ_кв.

Таким образом, в молекулярно-кинетической теории фигурируют три

скорости, характеризующие усредненное движение всей совокупности молекул:

 υ_кв = , (4.25)

, (4.26)

. (4.27)

Средняя квадратичная скорость характеризует среднюю энергию хаотического поступательного движения молекул и свя­зана с макроскопическими параметрами р и Т. На графике рисунка 50 она соответствует положению точки перегиба кривой функции Максвелла со стороны больших скоростей.

Наиболее вероятная скорость используется при исследова­нии распределения частиц по скоростям. Формулу (4.27) можно получить из условия экстремума функции. На рисунке 50 она соответствует положению максимума функции Максвелла. Средняя арифме­тическая скорость позволяет определить длину свободного пробега молекул, коэффициенты явлений переноса и т.д. Эти явления будут рассмотрены ниже. На рисунке 50 она соответствует положению абсциссы центра тяжести фигуры, ограниченной функцией Максвелла и осью скоростей.

П ри достаточно большой кон­центрации молекул и при постоян­ной температуре распределение Максвелла не изменяется с течением времени. Это означает, что при хаотическом тепловом дви­жении устанавливается динамическое равновесие. Число моле­кул, теряющих данную скорость при столкновениях, равно числу молекул, приобретающих эту скорость.

При нагревании газа доля молекул, обладающих, малыми скоростями, уменьшается, а доля молекул с большими ско­ростями — увеличивается (рисунок 51). С ростом температуры кривая становится более пологой, и её максимум смещается в сторону больших скоростей, т.е. происходит выравнивание молекул по скоростям.

Относительно рассмотренной функции Максвелла можно сделать следующие замечания:

– закон Максвелла является статистическим законом, поэтому он выполняется тем более точно, чем из большего числа молекул состоит рассматриваемая система;

– закон Максвелла справедлив только для хаотического (теплового) движения молекул идеального газа;

– закон Максвелла может быть обобщён на случай направленного движения газа как целого;

– закон Максвелла несправедлив, если газ находится во внешнем силовом поле.

Первое экспериментальное подтверждение закона Максвелла было получено в опытах Штерна в 1920 году.