§ 7. Базис и размерность конечномерного векторного пространства

Векторное пространство V над полем F называется конечномерным, если существует конечная система u = (u₁ , … , u_n)  V, для которой L(u) = V. При этом векторы u₁ , … , u_n называются порождающими или образующими векторного пространства V , а базис произвольной конечной системы образующих – базисом векторного пространства V .

Примеры: 1. Нулевое векторное пространство V = {0} не обладает базисом, т.к. любая его система образующих является нулевой.

2. Система стандартных векторов e_i = (0; … ; 0; 1; 0; … ; 0) (1  i  n) является системой образующих векторного пространства Fⁿ. Действительно, для любой строки x  Fⁿ имеем

x = (x₁ ; … ; x_n) = x₁(1; 0; … ; 0; … ; 0)+…+x_i(0; … ; 0;1;0; … ; 0)+…+x_n(0; … ; 0; … ; 0; 1) =

= x₁e₁ + … + x_ie_i + … + x_ne_n ,

т.е. L(e₁ , … , e_n) = F ⁿ.

3. Система стандартных векторов e_i^t = (0, …, 0, 1, 0, … , 0)^t (1  i  n) является системой образующих векторного пространства ⁿF (?!).

4. Указанные выше системы векторов линейно независимы и поэтому являются базисами соответствующих векторных пространств.

Теорема (о базисе конечномерного векторного пространства).

(1) Любое ненулевое конечномерное векторное пространство обладает базисом,

(2) любые два базиса конечномерного векторного пространства эквивалентны,

(3) любые два базиса конечномерного векторного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Доказательство. (1) следует из теоремы о базисе конечной системы векторов.

(2) Пусть u и v – две системы образующих векторного пространства V и b  u, c  v – их базисы. Тогда L(b) = L(u) = V = L(v) = L(c) и значит b ~ c .

3. следует из (2). Теорема доказана.

Ранг любой системы образующих ненулевого конечномерного векторного пространства называется размерностью пространства V и обозначается через dim V. Размерность нулевого пространства V = {0} полагается равной нулю. Если dim V = n , то векторное пространство V называется n-мерным.

Теорема (о базисах в n-мерном векторном пространстве). Пусть V – n-мерное векторное пространство над полем F. Тогда следующие утверждения о конечной системе

векторов b = {b₁ , … , b_m} эквивалентны:

1. b – базис векторного пространства V ,

2. к.с.в. b – линейно независимая система образующих векторного пространства V , т.е. выполнены следующие два условия:

(B1)  ₁ , … , _m  F ₁b₁+…+_mb_m = 0  ₁ = … = _m = 0,

(B2)  v  V  ₁ , … , _m  F v = ₁b₁+…+_mb_m ,

3. к.с.в. b линейно независима и m = n ,

4. к.с.в. b – система образующих векторного пространства V и m = n .

Доказательство. Схема доказательства: .

(1)  (2) Пусть b – базис векторного пространства V , т.е. b – базис некоторой системы образующих c этого пространства. По определению базиса, b линейно независима и L(b) = L(c) = V , что и требовалось.

(2)  (3) Пусть выполнены условия (B1) и (B2) . Ясно, что b – линейно независимая к.с.в. Поскольку пространство V n-мерно, существует его базис c из n векторов. При этом (по условию (B2)) L(b) = V = L(c), т.е. b ~ c . По теореме о ранге m = rg(b) = rg(c) = n.

(3)  (4) Пусть к.с.в. b линейно независима и m = n, а с – базис векторного пространства V, состоящий из n векторов. Тогда b  L(c) = V и (по теореме о замене) b ~ c, т.е. L(b) = L(c) = V. Это означает, что b – система образующих векторного пространства V.

(4)  (1) Пусть b – система образующих векторного пространства V , m = n, и с – базис пространства V. Тогда c линейно независима, c  L(b) и (по теореме о ранге к.с.в.) n = dim V = rg(c)  rg(b)  m = n . Значит rg(b) = m, т.е. к.с.в. b линейно независима. Теорема доказана.

Важным примером векторного пространства является векторное пространство решений однородной системы линейных уравнений Ax = 0 над полем F. Любая фундаментальная система её решений (как было доказано ранее) удовлетворяет утверждению (2) предыдущей теоремы и является, таким образом, базисом векторного пространства всех решений системы. Более точно, имеет место следующая

Теорема (о пространстве решений однородной системы линейных уравнений). Пусть задана система Ax = 0 m линейных уравнений c n неизвестными над полем F. Тогда множество её решений L = {x  ⁿF | Ax = 0} является векторным пространством размерности dim L = n – rg(A). При этом любая фундаментальная система решений является базисом этого векторного пространства.