§ 6. Базис и ранг конечной системы векторов

Пусть u – конечная система векторов в векторном пространстве V над полем F. Назовём подсистему b  u базисом системы u, если выполнены следующие два условия:

(B1): к.с.в. b линейно независима,

(В2): каждый вектор системы u линейно выражается через векторы системы b, т.е. u  L(b).

Из этого определения следует, что u  L(b)  L(u), т.е. L(b) = L(u) и b ~ u. Поэтому можно сказать, что базис к.с.в. – это любая эквивалентная ей линейно независимая подсистема.

Примеры: 1. Нулевая система векторов u = {0, … , 0} базисом не обладает, т.к. любая её подсистема линейно зависима.

2. В качестве базиса к.с.в. u = {u₁ = (1; 1), u₂ = (1; –1), u₃ = (0; 1), u₄ =(1; 0)}  R² можно взять, например, её подсистему b = {b₁ = (1; 1), b₂ = (1; –1)}. Действительно, b линейно независима (т.к. = –2  0) и u  L(b) : u₁ = b₁ , u₂ = b₂ , u₃ = 0,5(u₁ – u₂), u₄ = 0,5(u₁ + u₂) .

3. Базис конечной системы векторов определён неоднозначно. Так, в предыдущем примере можно было бы взять в качестве базиса подсистему b = {b₁ = (0; 1), b₂ = (1; 0)} (почему ?!).

Теорема (о существовании базиса ненулевой к.с.в.). Любая ненулевая конечная система векторов в векторном пространстве V над полем F обладает базисом. Более детально, в любой ненулевой конечной системе векторов u = {u₁ , … , u_n} существует линейно независимая подсистема b со свойством u ~ b .

Доказательство. Пусть u = { u₁ , … , u_n } – ненулевая к.с.в. в векторном пространстве V над полем F. Проведём индукцию по числу n.

База индукции: В случае n = 1 имеем u = {u₁} и u₁  0 . Поэтому система u линейно независима, и можно взять b = u.

Предположение индукции: предположим, что любая ненулевая к.с.в. u, состоящая не более чем из k векторов обладает базисом b , причём u ~ b.

Индукционный переход: докажем утверждение теоремы для любой ненулевой к.с.в. u = { u₁ , … , u_n }, состоящей из n = k+1 векторов. Выберем в u произвольную ненулевую подсистему u из k векторов и в ней (используя предположение индукции) базис b ~ u . Пусть w – вектор системы u, не входящий в u . Если к.с.в. b  {w} линейно зависима, то (по утверждению (6) леммы о линейно зависимых и независимых системах векторов) w линейно выражается через векторы системы b . Тогда к.с.в. b является искомым ба­зи­сом. Действительно, (по свойствам эквивалентности к.с.в.) b ~ b  {w} ~ u  {w} = u , что и требовалось доказать.

Если же к.с.в. b = b  {w} линейно независима, то b – искомый базис. В самом деле, b = b  {w} ~ / b ~ u / ~ u  {w} = u . Теорема доказана.

Пример: Если задана ненулевая к.с.в. u  Fⁿ (ⁿF) то для нахождения её базиса достаточно составить матрицу из векторов системы u , найти её базисный минор и взять в качестве базисных участвующие в нём векторы. Действительно, полученная таким образом система векторов будет максимальной линейно независимой, т.е. она удовлетворяет условию (В1). Кроме того, любой вектор исходной системы линейно выражается через выбранные базисные векторы (т.к. любой окаймляющий минор равен нулю), т.е. условие (В2) тоже выполнено.

Пусть u – ненулевая конечная система векторов в векторном пространстве V над полем F. Количество векторов в некотором её базисе называется рангом к.с.в. u и обозначается через rg(u). Ранг любой нулевой системы векторов полагают равным нулю.

Это определение нуждается в обосновании: нужно доказать, что количества векторов в любых базисах к.с.в. u одинаковы (если бы это было неверно, то понятие ранга вообще не имело бы смысла).

Теорема (о ранге к.с.в.). Пусть u – ненулевая конечная система векторов в векторном пространстве V над полем F. Тогда

1. количества векторов в любых базисах к.с.в. u одинаковы, т.е. понятие ранга системы не зависит от выбора базиса (если b  u, c  u – два базиса к.с.в. u, то они состоят из одного и того же количества векторов),

2. ранги любых двух эквивалентных ненулевых систем векторов равны (если u ~ v, то rg(u) = rg(v)),

3. ранг любой подсистемы не превосходит ранга всей системы векторов (если v  u, то rg(v)  rg(u)),

4. если v  L(u), то rg(v)  rg(u).

Доказательство. Докажем вначале следующее вспомогательное утверждение, из которого затем выведем все остальные:

если v  L(u), b  v – базис v, а c  u – базис u, то количество векторов в b не превосходит количества векторов в c .

Действительно, системы b и c линейно независимы и b  L(c) (b  v  L(u) = L(c)). Утверждение (1) теоремы о замене сразу даёт требуемое неравенство.

(1) Если b  u, c  u – два базиса к.с.в. u, то можно применить доказанное утверждение в ситуации u = v.

(2) Если u ~ v , то u  L(v) и по доказанному утверждению rg(u)  rg(v). С другой стороны, v  L(u), так что rg(v)  rg(u), и окончательно rg(u) = rg(v).

(3) и (4) непосредственно следуют из доказанного утверждения (как ?! Не забудьте, что система v может быть нулевой !!). Теорема доказана.

Теорема (Кронекера-Капелли). Пусть u = {u₁ , … , u_n} – конечная система векторов в векторном пространстве V над полем F, w  V. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. w  L(u),

2. rg(u) = rg(u  {w}).

Доказательство. (1)  (2) Если w  L(u), то (по свойствам эквивалентности к.с.в.) u  {w} = {u₁ , … , u_n , w} ~ u и всё следует из теоремы о ранге.

(2)  (1) Предположим, что w  L(u), но rg(u) = rg(u  {w}). Тогда w  0 и u – ненулевая к.с.в. (почему ?!). Если b – базис u, то w  L(u) = L(b), т.е. к.с.в. b  {w} ли­ней­но независимая подсистема в u  {w}, и rg(u) = rg(b) < rg(b  {w})  rg(u  {w}) – противоречие. Теорема доказана.

Следствие (теорема Кронекера-Капелли для систем линейных уравнений). Система Ax = b m линейных уравнений с n неизвестными над полем F имеет решение тогда и только тогда, когда rg(A | b) = rg(A).

Доказательство. Из векторной записи a⁽¹⁾x₁+…+a⁽ⁿ⁾x_n = b с.л.у. Ax = b (здесь a⁽ⁱ⁾ – i-й столбец матрицы A) следует, что система имеет решение тогда и только тогда, когда b  L(a⁽¹⁾, … , a⁽ⁿ⁾). По доказанной теореме Кронекера-Капелли это равносильно условию rg(a⁽¹⁾, …a⁽ⁿ⁾ , b) = rg(a⁽¹⁾, …a⁽ⁿ⁾), т.е. rg(A | b) = rg(A). Следствие доказано.