§ 5. Эквивалентные системы векторов

Пусть в векторном пространстве V над полем F заданы две конечные системы векторов u = {u₁ , … , u_n} и v = {v₁ , … , v_m} . Назовём эти системы эквивалентными, если каждый вектор u_i (1  i  n) системы u линейно выражается через векторы системы v и каждый вектор v_j (1  j  m) системы v линейно выражается через векторы системы u . Эквивалентность конечных систем векторов u и v обозначается символом u ~ v .

Примеры: 1. Пусть V = R³, u = (u₁ = (0; 1; 0), u₂ = (1; 1; 1), u₃ = (0; 0; 1)), v = (v₁ = (1; 1; 0), v₂ = (1; 0; 0), v₃ = (0; 1; 1)). Тогда u₁ = v₁ – v₂ , u₂ = v₂ + v₃ , u₃ = v₃ – v₁ + v₂ , v₁ = u₂ – u₃ , v₂ = u₂ – u₁ – u₃ , v₃ = u₁ + u₃ , т.е. u ~ v.

2. Если V – произвольное векторное пространство, u = {0}, v = {w}, причём w  0 . Тогда u не эквивалентна v : ненулевой вектор w не выражается линейно через нулевой вектор.

Теорема (об эквивалентных системах векторов). Пусть V – векторное пространство над полем F. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. две к.с.в. эквивалентны тогда и только тогда, когда их линейные оболочки совпадают: u ~ v  L(u) = L (v).

2. введённое отношение ~ на конечных системах векторов является отношением эквивалентности, т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно,

Доказательство. (1) ( ) Если u ~ v , то из определения следует, что u  L(v) и v  L(u), откуда (по следствию о вложенных линейных оболочках) получаем L(u)  L(v) и L(v)  L(u), т.е. L(u)  L(v)  L(v), а значит, L(u) = L(v).

( ) Если L(u) = L(v), то u  L(u) = L(v), v  L(v) = L(u). Это значит, что каждый вектор системы u является линейной комбинацией векторов системы v (т.е. линейно выражается через векторы системы v), а каждый вектор системы v линейно выражается через векторы системы u, что и тре­бо­валось.

(2) Рефлексивность и симметричность отношения ~ очевидны по (1). Проверим транзитивность: если u ~ v и v ~ w, то L(u) = L(v) и L(v) = L(w), т.е. L(u) = L(w), что означает выполнение доказываемого отношения u ~ w. Теорема доказана.

Некоторые свойства эквивалентных систем векторов

1⁰. Если к.с.в. v получается из к.с.в. u перестановкой двух векторов, то u ~ v .

Действительно, u = {… , u_i , … , u_j , … } = {… , u_j , … , u_i , … } = v, и L(u) = L(v), т.е. u ~ v.

2⁰. Если к.с.в. v отличается от к.с.в. u лишь в i-й позиции, где вместо u_i стоит линейная комбинация v_i = ₁u₁+…+_i–1u_i–1+_iu_i+_i+1u_i+1+…+_nu_n с ненулевым коэф­фициентом _i  F \ {0} и произвольными коэффициентами ₁ , … , _i–1 , _i+1 , … … , _n  F , то u ~ v .

В самом деле, очевидно, что v  L(u). Для доказательства включения u  L(v) достаточно только найти разложение вектора u_i по векторам системы v (остальные векторы систем u и v одинаковы). Имеем

u_i = _i^–1( v_i – ₁u₁ –…– _i–1u_i–1 – _i+1u_i+1 –…– _nu_n) =

= (–_i^–1₁)v₁ +…+ (–_i^–1_i–1)v_i–1 + _i ^–1v_i + ( –_i^–1_i+1)v_i+1 +…+ (–_i^–1_n)v_n ,

что и требовалось.

3⁰. Если w  L(u), а v = (u₁ , … , u_n , w), то v ~ u .

Очевидно, что v  L(u) (т.к. w  L(u) и u  L(u)) и u  L(v) (т.к. u  v), т.е. v ~ u .

4⁰. Если w  V, а u ~ v , то u₊ = (u₁ , … , u_n , w) ~ (v₁ , … , v_m , w) = v₊ .

Ясно, что u  L(v)  L(v₊), w  L(u₊)  L(v₊), v  L(u)  L(u₊), т.е. u₊  L(v₊) и v₊  L(u₊).

Теорема (о замене). Пусть в векторном пространстве V над полем F заданы две конечные системы векторов u = {u₁ , … , u_n} и v = {v₁ , … , v_m} , причём система u линейно независима и u  L(v). Тогда справедливы утверждения:

(1) n  m, (2) v ~ w = {u₁ , … , u_n , w_n+1 , … , w_m}, где w_i  v (n+1  i  m).

Доказательство. Проведём индукцию по числу n  N.

База индукции: n = 1. Имеем u = {u₁} и (т.к. система u линейно независима) u₁  0 . Кроме того, (т.к. u  L(v)) u₁ = ₁v₁+…+_mv_m , причём хотя бы один из коэффициентов _i ненулевой (почему ?!). Тогда (по свойству 2⁰ ) имеем v ~ {v₁ , … , v_i–1 , u₁ , v_i+1 , … , v_m} ~ ~ {u₁ , v₁ , … , v_i–1 , v_i+1 , … , v_m} = w . Утверждение (1) для n = 1 очевидно.

Предположение индукции: Предположим, что теорема верна для n = 1, … , k.

Индукционный переход: Докажем теорему для n = k+1. Пусть u = {u₁ , … , u_k , u_k+1} – линейно независимая система векторов и u  L(v). Тогда к.с.в. u = {u₁ , … , u_k} удовлет­воряет предположению индукции, т.е. u линейно независима (как подсистема линейно не­за­висимой системы) и u  u  L(v). Значит, k  m и v ~ w = {u₁ ,…, u_k , w_k+1 ,…, w_m}, где w_i  v (k+1  i  m).

Докажем утверждение (1) от противного. Если n = k+1 > m, то (ввиду k  m) имеем k = m и тогда w = {u₁ ,…, u_k} = u  u, причём v ~ w, т.е. L(v) = L(w) = L(u). Это приводит к искомому противоречию: u  L(v) = L(u) и u_k+1  L(u) вопреки линейной независимости к.с.в. u.

Докажем утверждение (2). Поскольку u_k+1  L(v) = L(w), то u_k+1 = ₁u₁+…+_ku_k+ +_k+1w_k+1+…+_mw_m . При этом хотя бы одно из _i (k+1  i  m) ненулевое, т.к. u_k+1  L(u).

По доказанным свойствам (каким именно ?!) имеем

w = {u₁ ,…, u_k , w_k+1 ,…, w_m} ~ {u₁ ,…, u_k , w_k+1 ,…, w_i–1 , u_k+1 , w_i+1 , … , w_m} ~

~ {u₁ ,…, u_k , u_k+1 , w_k+1 ,…, w_i–1 , w_i+1 , … , w_m} = w ,

где w_s  v (s  {k+1, … , i–1, i+1, … , m}) по предположению индукции. Теорема доказана.

Теорема (о линейной зависимости больших систем векторов). Если в векторном пространстве V над полем F заданы две к.с.в. u = {u₁ , … , u_n} и v = {v₁ , … , v_m}, причём u  L(v) и n > m, то к.с.в. u линейно зависима.

Доказательство. Если бы к.с.в. u была линейно независима, то (по теореме о замене) должно было бы выполняться неравенство n  m – противоречие. Теорема доказана.

Следствие. В арифметических векторных пространствах Fⁿ и ⁿF любые системы векторов, состоящие более чем из n элементов, линейно зависимы.

Доказательство непосредственно следует из доказанной теоремы, если учесть, что Fⁿ = L(e₁ , … , e_n) , ⁿF = L(e₁^t , … , e_n^t), где e_i = (0, … , 0, 1, 0, … 0) – стандартный вектор в Fⁿ (1  i  n). Следствие доказано.