Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем векторов

Пусть v – конечная система векторов векторного пространства V над полем F.

1⁰. Если 0  v, то к.с.в. v линейно зависима.

Если v = {v₁ , … , v_n} и v_k = 0, то нетривиальная линейная комбинация 0v₁+…+0v_k–1+1v_k+ +0 v_k+1+…+0v_n равна нулевому вектору.

2⁰. Если u – линейно зависимая подсистема векторов в к.с.в. v (т.е. u  v) , то к.с.в. v линейно зависима.

По критерию зависимости, один из векторов системы u линейно выражается через её остальные векторы. Тогда этот же вектор к.с.в. v линейно выражается через некоторые её векторы, что и означает линейную зависимость по утверждению (4) критерия зависимости.

3⁰. Ели u – подсистема векторов линейно независимой к.с.в. v , то к.с.в. u линейно независима.

Если бы u была линейно зависимой, то (по 2⁰ ) к.с.в. v также была бы линейно зависимой, вопреки условию.

4⁰. Если u = {u₁ , … , u_n} – линейно независимая к.с.в. , а к.с.в. v ={u₁ , … , u_n , w} линейно зависима, то вектор w единственным образом линейно выражается через векторы системы u .

Согласно утверждению (2) критерия зависимости, либо v₁ = 0 , либо некоторый вектор к.с.в. v линейно выражается через предыдущие. Первый случай невозможен ввиду линейной независимости системы u . Во втором случае те же аргументы доказывают, что вектор w линейно выражается через векторы системы u .

Если w = ₁u₁+…+_nu_n = ₁u₁+…+u_n – два линейных разложения, то вы­читая, получим (₁ – ₁)u₁+…+(_n – _n)u_n = 0 и (ввиду линейной независимости векторов u₁ , …, u_n) верны равенства ₁ = ₁ , … , _n = _n , что и требовалось доказать.

5⁰. Если v = {v₁} , то v линейно зависима тогда и только тогда, когда v₁ = 0 .

Пусть вначале к.с.в. v = {v₁} линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация v₁ = 0 , где   0. Ясно, что v₁ = 0. Если же v₁ = 0 , то линейная зависимость к.с.в. v следует из 1⁰.

6⁰. Если v = {v₁ , v₂} , то v линейно зависима тогда и только тогда, когда её векторы v₁ и v₂ пропорциональны, т.е.    F v₁ = v₂  v₂ = v₁ ,

Пусть вначале к.с.в. v = {v₁ , v₂} линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация v₁+v₂ = 0. Поэтому в случае   0 имеем v₁ = v₂ , где  = – ^–1 , а в случае   0 – соответственно v₂ = v₁ , где  = – ^–1 .

Обратно, если, например, v₁ = v₂ , то система v линейно зависима по утверждению (3) критерия зависимости.

На практике для определения линейной зависимости векторов в арифметических пространствах F ⁿ и ⁿF используют аппарат решения систем линейных уравнений. Так, если заданы векторы а₁ = (а₁₁ ; … ; а_1n) , … , a_m = (а_m1 ; … ; а_mn)  F ⁿ , то условие их линейной зависимости ₁а₁+…+_ma_m = 0  F ⁿ приводит к системе n линейных уравнений с m неизвестными ₁ , … , _m : или в матричном виде А^t = 0 , где  = (₁ ; … ; _m), A = – матрица со строками а₁ , … , а_m . Система векторов а₁ , … , а_m линейно зависима тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение указанной однородной системы линейных уравнений.

Упражнения: 1. Докажите, что система векторов a⁽¹⁾ = , …, a^(m) =  ⁿF линейно зависима тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение системы линейных уравнений A = 0  ⁿF , где  = , А = .

2. Найдите все соотношения линейной зависимости векторов a₁ = (1;–1;0), a₂ = (3;2;1), a₃ = (2;3;1), a₄ = (4;1;1)  R³ .