§ 4. Линейно зависимые и независимые системы векторов
Конечная система векторов v = (v1 , … , vn) называется линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация её векторов, равная нулевому вектору пространства V. Другими словами к.с.в. v линейно зависима, если 1 , … , n F (1 0 … … n 0) (1v1+ … +nvn = 0 ). Конечная система векторов v = (v1 , … , vn) называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой, т.е. не существует нетривиальной линейной комбинации её векторов, равной нулевому вектору. Другими словами к.с.в. v линейно независима, если 1 , … , n F 1v1+ … +nvn = 0 1 = … = n = 0 .
Говорят, что вектор u V линейно выражается через векторы конечной системы векторов v = (v1 , … , vn) , если 1 , … , n F u = 1v1+ … +nvn . Ясно, что сформулированное условие эквивалентно u L (v).
Примеры: 1. Векторы v1 = (1; 0; –1), v2 = (–1; 1; 1), v3 = (2; –1; –2) R3 линейно зависима, т.к. 1v1 + (–1)v2 + (–1)v3 = 0 R3 – нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору.
2. Векторы
v1 =
, v2 =
2R
линейно независимы. Действительно,
если 1v1+2v2
= 0
2R , то
. Однако последняя система линейных
уравнений имеет только нулевое решение
1
= 0 = 2
(почему ?!).
3. В векторном пространстве V2(O, R) два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они лежат на одной прямой, проходящей через точку О.
Действительно, если векторы u, v V2(O, R) линейно зависимы, то существует нетривиальная линейная комбинация u + v = 0 V2(O, R). Если, например, 0, то u = = (––1)v, т.е. рассматриваемые векторы пропорциональны и лежат на одной прямой.
Обратно, если
векторы u, v
V2(O, R)
лежат на одной прямой, проходящей через
точку О, то в случае, когда хотя бы
один из них нулевой – например u
– имеем 1u
+ 0v
= 0, что доказывает их линейную
зависимость. В случае, когда оба
рассматриваемых вектора ненулевые,
получаем нетривиальную линейную
комбинацию вида
, где знак + берётся, если векторы u,
v разнонаправлены, а знак
– , если они сонаправлены (восстановите
детали самостоятельно !!).
4. К.с.в. v = (0) линейно зависима: 10 = 0 – нетривиальная линейная комбинация её векторов, равная нулевому вектору.
Теорема (критерий зависимости системы векторов). Следующие условия для конечной системы векторов v = (v1 , … , vn) в векторном пространстве V над полем F эквивалентны:
к.с.в. v линейно зависима.
(v1 = 0) ( k {1, … , n} 1 , … , k–1 F vk = 1v1+ … +k–1vk–1 ), т.е. либо рассматриваемая к.с.в. содержит нулевой вектор v1 , либо некоторый её вектор линейно выражается через предыдущие векторы.
либо v = (0), либо некоторый вектор к.с.в. v линейно выражается через её остальные векторы, т.е. k {1, … , n} 1 , … , k–1 , k+1 , … , n F vk = 1v1+ … …+k–1vk–1 + k+1vk+1+ …+nvn .
либо v = (0), либо один из векторов к.с.в. v линейно выражается через некоторые другие её векторы: k {1, … , n}, i1 , … , is {1, … , n} \ {k}
, … ,
F vk
=
+
…+
.
Доказательство. (1) (2) Пусть 1v1+ … +nvn = 0 – нетривиальная линейная комбинация и k 0 – последний её ненулевой коэффициент, т.е. k+1 = … = n = 0 (если n = 0) и k = n (если n 0). Тогда 0 = 1v1+ … +nvn = 1v1+ … +k–1vk–1 + +kvk+0vk+1+…+0vn , откуда при k > 1 получаем vk = (–k–11)v1+…+(–k–1k–1)vk–1 , а в случае k = 1 имеем 2 = … = n = 0, 1v1 = 0 и v1 = 0, что и требовалось.
(2) (3) Если v1 = 0 и n > 1, то 0 = v1 = 0v2+ …+0vn . Если же v1 0, то указанный в условии (2) вектор vk = 1v1+ … +k–1vk–1+0vk+1+…+0vn линейно выражается через остальные векторы к.с.в. v .
(3) (4) очевидно ?!.
(4) (1) Если v = (0), то она линейно зависима. Если же vk = + …+ – линейное разложение из свойства (4), то положим I = {i1 , … , is}, J = {1, … , n} \ I и j = 0 при j J. Тогда 1v1+ …+k–1vk–1+(–1)vk+k+1vk+1+ …+nvn = 0 – нетривиальная линейная комбинация векторов системы v, равная нулевому вектору.
Теорема доказана.