§ 3. Подпространства и линейные оболочки
Пусть V – векторное пространство над полем F. Непустое подмножество W V называется подпространством векторного пространства V над полем F, если выполнены следующие условия:
(П1): W замкнуто относительно операции сложения + , т.е. v, w W v+w W;
(П2): W замкнуто относительно операций умножения на скаляры ( F) , т.е. F w W w W;
(П3): подалгебра (W, +, { | F}) алгебры (V, +, { | F}) сама является векторным пространством над полем F относительно индуцированных операций сложения и умножения на скаляры.
Таким образом, это определение предполагает выполнение следующих четырёх условий:
0) непустота: W ,
замкнутость W относительно сложения: x, y W x+y W,
замкнутость W относительно умножений на скаляры: F x W x W,
алгебра (W, +, { | F}) удовлетворяет всем восьми аксиомам векторного пространства над полем F.
Оказывается, что последнее требование излишне:
Теорема (о подпространстве). Пусть V – векторное пространство над полем F. Следующие условия для непустого подмножества W V эквивалентны:
W является подпространством в V.
W замкнуто относительно сложения ( x, y W x+y W) и умножений на скаляры ( F x W x W), т.е. удовлетворяет условиям (П1), (П2) определения подпространства.
1 , 2 F w1 , w2 W 1w1 + 2w2 W.
Доказательство. (1) (2). Доказывать нечего, т.к. замкнутость относительно операций сложения и умножения входит в определение подпространства (условия (П1), (П2)).
(2) (3). Пусть W замкнуто относительно сложения и умножений на скаляры. Зафиксируем произвольные 1 , 2 F, w1 , w2 W и докажем, что 1w1 + 2w2 W . В самом деле, ввиду w1 , w2 W и замкнутости W относительно умножений на скаляры, имеем 1w1 , 2w2 W. Теперь, применив замкнутость W относительно сложения, получим 1w1 + 2w2 W .
(3) (1). Нужно проверить, что любое непустое подмножество W V со свойством (3) удовлетворяет условиям (П1), (П2), (П3). Вначале проверим условия замкнутости (П1) и (П2) : если w, w1 , w2 W F, то w1 + w2 = 1w1 + 1w2 W , w = w+0w W по условию (3).
Теперь ясно, что (W, +, { | F}) – подалгебра алгебры (V, +, { | F}), так что нужно лишь убедиться в выполнении восьми аксиом векторного пространства.
Аксиомы (A+), (K+), (A), (N), (D+) очевидны, т.к. проверяемые в них тождества выполнены для любых векторов из V, а тем более, и из W .
(N+): 0 W w W 0 + w = w + 0 = w
Нулевой вектор с указанным свойством существует в объемлющем пространстве V. Докажем, что на самом деле этот нулевой вектор лежит в W. Действительно, по одному из свойств векторных пространств имеем w W 0 = 0w W ввиду замкнутости W относительно умножений на скаляры. Здесь использовалась непустота множества W : чтобы воспользоваться свойством 0w W нужно иметь хотя бы один элемент w W .
(О+): w W u W w + u = u + w = 0
Как и в предыдущем свойстве, в объемлющем пространстве V противоположный элемент к w существует – это –w. Докажем, что –w W . Действительно, по одному из свойств векторных пространств имеем w W –w = (–1)w W ввиду замкнутости W относительно умножений на скаляры. Теорема доказана.
Таким образом, для проверки того, что некоторое подмножество W V является подпространством векторного пространства V над полем F, нужно 1) убедиться в непустоте W, 2) доказать замкнутость W относительно операции сложения в V, 3) доказать замкнутость W относительно операций умножения элементов из V на скаляры, или же вместо двух последних проверок провести одну: 1 , 2 F w1 , w2 W 1w1 + 2w2 W.
Примеры подпространств: 1. Ввиду доказанной леммы W = {0} – нулевое подпространство в V, W = V – подпространство в V. Эти подпространства иногда называют несобственными подпространствами векторного пространства V , а все остальные – собственными.
2. W = {(0; y) R2 | y R} – подпространство в R2. Действительно, во-первых, ясно, что W ((0; 0) W). Во-вторых, если 1 , 2 R , w1 = (0; y1), w2 = (0; y2) W, то 1 w1 + 2w2 = 1(0; y1) + 2(0; y2) = (0; 1y1+2y2) W .
3. Пусть V – векторное пространство решений однородной системы AX = 0 m линейных уравнений с n неизвестными (A M(m, n, F)), B – произвольная (k n)-матрица над полем F. Тогда W = {Y nF | AY = 0 BY = 0} – подпространство в V. Действительно, во-первых, W : нулевой вектор-столбец лежит в W. Во-вторых, если 1 , 2 F , и w1 , w2 W, то A(1w1 +2w2) = A(1w1)+A(2w2) = 1A(w1)+ 2A(w2) =0+0 = 0 и B(1w1 +2w2) = B(1w1)+B(2w2) = 1B(w1)+ 2B(w2) =0+0 = 0, т.е. 1w1 +2w2 W.
4. Имеем следующую цепочку функциональных подпространств: C1([a,b]) C0([a,b]) L1([a, b]) F([a, b], R) (проверьте это самостоятельно !!)
5. Любое
собственное подпространство в V
= V2(O, R)
состоит из всех векторов, расположенных
на некоторой прямой (проходящей, конечно,
через т. О). Действительно, если W
– собственное подпространство
в V , то существует ненулевой
вектор 0
w
W (т.к. W
{0}), который является
направляющим вектором некоторой прямой
l, образованной в
екторами
вида w
(
R) и поэтому целиком
лежащей в W .
Если предположить, что в W содержится вектор v, не коллинеарный w, то как показывает рисунок, произвольный вектор a V можно представить в виде a = v + w W. Таким образом, W = V, вопреки условию.
Итак, любое подпространство W V = = V2(O, R) имеет вид W = {0} или W = V, или W = {w V | R } для некоторого ненулевого вектора w V.
Упражнения: 1. Классифицировать подпространства в V3(O, R).
2. Верно ли, что B([a, b]) – подпространство в С0([a, b]) ? А в L([a, b]) ?
3. Верно ли, что F0[x] = {f(x) F[x] | g(x) F[x] f(x) = xg(x)} является подпространством в F[x].
Пусть V
– векторное пространство над полем
F, n N.
Любой упорядоченный набор v =
(v1 ,
… , vn)
Vn, или
упорядоченный набор v =
nV или даже
множество v = {v1
, … , vn
} V
будем называть конечной системой
векторов в пространстве V
или кратко к.с.в. В каком именно виде
будут возникать в дальнейшем к.с.в.,
зависит от контекста: к.с.в. в виде
множества удобно использовать, если
не существенен порядок рассматриваемых
векторов, если же порядок векторов
важен для рассуждений, то удобно мыслить
к.с.в. в виде строки или столбца (в
зависимости от специфики конкретной
ситуации).
Пример:
Пусть (–1; 2; 3), (3; 1; 1)
R3. Тогда ((–1;
2; 3), (3; 1; 1))
(R3)2,
2(R3)
, {(–1; 2; 3), (3; 1; 1) }
R3 –
конечные системы векторов.
Пусть v = {v1 , … , vn} – к.с.в. , 1 , … , n F. Тогда вектор 1v1+…+nvn V называется линейной комбинацией (в дальнейшем – л.к.) векторов системы v (или просто векторов v1 , … , vn V) с коэффициентами 1 , … , n F. Если 1 = … = n = 0, то такая линейная комбинация называется тривиальной; если же i (1 i n) i 0, то соответствующая линейная комбинация называется нетривиальной. Множество всех линейных комбинаций векторов к.с.в. v с коэффициентами из F называется линейной оболочкой этой системы в пространстве V и обозначается через L(v) или L (v1 , … , vn). Итак,
L (v) = L (v1 , … , vn) = {1v1+…+nvn | 1 , … , n F}.
Примеры: 1. Вектор (2; 3; 4) является л.к. системы векторов предыдущего примера. Действительно, (2; 3; 4) = 1(–1; 2; 3) + 1(3; 1; 1). Итак, (2; 3; 4) L ((–1; 2; 3), (3; 1; 1))
Пусть v = {v1 = (x1 ; y1 ; … ; z1 ; t1) , … , vn = (xn ; yn ; … ; zn ; tn)} – произвольная к.с.в. в Fn. Тогда любая линейная комбинация этой системы векторов такова: 1v1 + … + nvn = = (1x1+…+nxn ; 1y1+…+nyn ; … ; 1z1+…+nzn ; 1t1+…+ntn ) .
3. В обосновании позапрошлого примера 5 было показано, что произвольный ненулевой вектор a V2(O, R) можно представить в виде линейной комбинации любых двух неколлинеарных векторов v, w V2(O, R). Другими словами, L (v, w) = V2(O, R).
4. L (0) = {0} = L (0, … , 0) (0 V).
Теорема (о линейной оболочке к.с.в.). Если v = (v1 , … , vn ) – к.с.в. в векторном пространстве V, то справедливы следующие утверждения:
(1) линейная оболочка L (v) является подпространством в V;
(2) v L (v);
(3) Если W – подпространство векторного пространства V, содержащее к.с.в. v, то L (v) W. Таким образом, линейная оболочка к.с.в. v является наименьшим подпространством в V, содержащим v.
Доказательство. (1) Во-первых, L (v) , т.к. 0 = 0v1+…+0vn L (v). Во-вторых, если 1 , 2 F, w1 = 1v1+…+nvn , w2 = 1v1+…+nvn L(v), то
1w1+2w2 = (11)v1+…+(1n)vn+(21)v1+…+(2n)vn =
= (11+21)v1+…+(1n+2n)vn L (v).
Таким образом, L (v) – подпространство в V по теореме о подпространстве.
(2) vi = 0v1+…+0vi–1+1vi+0vi+1+…+0vn L (v).
(3) Действительно, поскольку подпространство W замкнуто относительно сложения и умножений на скаляры, то для любых 1 , … , n F вместе с векторами v1 , … , vn оно содержит все векторы 1v1 , … , nvn и их сумму 1v1 + … + nvn . Таким образом, любая л.к. векторов v1 , … , vn лежит в W, а значит L (v) W, что и требовалось.
Теорема доказана.
Следствие (о вложенных линейных оболочках). Пусть u, v, w – конечные системы векторов векторного пространства V, причём u L (v) и v L (w). Тогда u L (u) L (v) L (w).
Доказательство. Поскольку L (u) – наименьшее подпространство, содержащее u, то L (u) L (v). Аналогично L (v) L (w), и u L (u) L (v) L (w). Следствие доказано.
Примеры: 1. Пусть v = {v1 = (1; 0; –1), v2 = (–1; 1; 1), v3 = (2; 1; 0)}. Верно ли, что (0; 0; 1) L (v) ?
Если w = (0; 0; 1), то
w
L
(v)
w =
1v1
+ 2v2
+ 3v3
(0; 0; 1) = 1(1;
0; –1) +2(–1;
1; 1)+3(2;
1; 0)
(0; 0; 1) = (1
–2
+ 23
; 2
+ 3
; –1
+ 2
)
.
Таким образом, w = (–3/2)v1 +(–1/2)v2 + (1/2)v3 L (v).
Обобщая предыдущий пример, можно получить следующий критерий: если задана к.с.в. v = {v1 , … , vk } F n и строка w F n , то w = 1v1+…+kvk L (v) A = w , где А =
– матрица, составленная из строк
системы v,
= (1
; … ; k
) – строка.Если задана к.с.в. v = {v1 , … , vk } n F и столбец w n F , то w = 1v1+…+kvk L (v) A = w , где А = (v1 , … , vk ) – матрица, составленная из столбцов системы v, = (1 ; … ; k ) t – столбец.