§ 2. Простейшие свойства векторных пространств

Следующие шесть свойств следуют из доказанных ранее свойств полугрупп и групп, применённых к абелевой группе (V, +):

1⁰. Для любых k  N и v₁ , … , v_k  V результат сложения v₁+…+v_k не зависит от способа расстановки скобок в сумме.

2⁰.  ! 0  V  v  V 0+v = v = v+0

3⁰.  v  V  ! –v  V v+(–v) = 0 = (–v)+v

4⁰.  u, v  V u+v = u  v = 0

5⁰.  u, v, w  V u+v = u+w  v = w

6⁰.  u, v, w  V u+v = w + v  u = w

7⁰.  v  V 0v = 0

Действительно, 0v = (0+0)v = 0v+0v, так что равенство 0v = 0 следует из 4⁰.

8⁰.    F 0 = 0

В самом деле, т.к. 0 = (0+0) = 0+0, то равенство 0 = 0 следует из 4⁰.

9⁰.    F  v  V v = 0   = 0  v = 0

Действительно, если   0, то 0 = ^–10 = ^–1(v) = (^–1)v = 1v = v.

10⁰.  v  V –v = (–1)v

В самом деле, (–1)v+v = (–1)v+1v = (–1+1)v = 0v = 0, и (–1)v = –v по свойству 3⁰.

11⁰.    F  v  V (–)v = (–v) = –(v)

В самом деле, нужно убедиться в том, что векторы (–)v и (–v) противоположны к v. Имеем: (–)v+v = (–+)v = 0v = 0, (–v) = ((–1)v) = ((–1))v = (–)v что и требовалось.

12⁰.    F  v  V (–)(–v) = v

Действительно, (–)(–v) = (–)((–1)v) = ((–)(–1))v = v.

Как и для колец, в векторном пространстве можно определить производную от сложения операцию вычитания векторов, полагая  u, v  V u – v = u + (–v). Ясно, что вычитание любых двух векторов однозначно определено, так что оно является бинарной алгебраической операцией на V.

13⁰.    F  u, v  V (u–v) = u–v

В самом деле, (u–v) = (u+(–v)) = u+(–v) = u+(–v) = u–v.

14⁰.    F  v₁ , … , v_k  V (±v₁ ±v₂ ± … ±v_n) = ±v₁ ± v₂ ± … ±v_n (комбинация знаков произвольная)

Доказывается с помощью индукции по n. Базу индукции при n = 2 обеспечивают (D+) и 13⁰. Проведите рассуждения самостоятельно.

15⁰.  ,   F  v  V (–)v = v–v

Доказательство оставляется в качестве упражнения.

16⁰.  ₁ , … , _m  F  v  V (±₁ ± ₂ ± … ± _m)v = ±₁v ± ₂v ± … ±_mv (комбинация знаков произвольная)

Доказывается с помощью индукции по n. Базу индукции при n = 2 обеспечивают (D+) и 15⁰. Проведите рассуждения самостоятельно.

17⁰.   , ₁ , … , _m  F  v₁ , … , v_m  V (₁v₁ +₂v₂ +… + _mv_m) = (₁)v₁ +… …+ (₂)v₂ + … + (_m)v_m

Доказывается с помощью индукции по n. Базу индукции при n = 2 обеспечивают (D+) . Проведите рассуждения самостоятельно.

Упражнение: Докажите, что аксиома (О+) в определении векторного пространства следует из остальных.