Простейшие свойства гомоморфизмов векторных пространств
Всюду в дальнейшем (V , +, { | F} ) и (W , , { | F} ) – два векторных пространства над одним и тем же полем F, : V W – гомоморфизм.
10. n N v1 , … , vn V 1 , … , n F (1v1+…+nvn)=1(v1)…n(vn)
Это доказывается индукцией по n, используя условия линейности и однородности.
20. (0V) = 0W
Действительно, ввиду свойства аддитивности имеем (0V) + (0V) = (0V+0V) = (0V) = = (0V) + 0W , откуда, сокращая обе части на (0V) в группе (W, +) получим требуемое равенство.
30.
v
V (–v)
=
(v)
В самом деле, по условию аддитивности имеем (v) (–v) = (–v) (v) = (0V) = 0W .
40. Если : V W – мономорфизм, а u = (u1 , … , un) – линейно независимая система векторов векторного пространства V , то (u) = ((u1) , … , (un)) является линейно независимой системой векторов пространства W.
Действительно, если 1(u1)…n(un) = 0W , то
(0V) = 0W = 1(u1)…n(un) = (1u1+…+nun),
откуда (ввиду инъективности ) получаем 1u1+…+nun = 0V . Значит 1 = … = n = 0, что и требовалось доказать.
50. Если : V W – эпиморфизм, а u = (u1 , … , un) – система порождающих векторного пространства V , то (u) = ((u1) , … , (un)) является системой порождающих векторного пространства W.
В самом деле, если w W, то (ввиду сюръективности ) найдётся v = 1u1+…+nun V со свойством w = (v) = (1u1+…+nun) = 1(u1)…n(un), что и требовалось.
60. Любой изоморфизм векторных пространств отображает линейно независимые системы векторов в линейно независимые, а системы порождающих – в системы порождающих. В частности любой изоморфизм векторных пространств отображает базисы одного пространства в базисы другого.
Следует из 40 и 50.
70. Если : U V и : V W – два гомоморфизма векторных пространств над одним и тем же полем, то их композиция : U W будет гомоморфизмом векторных пространств.
Нужно проверить выполнение свойств линейности и однородности для .
Линейность: u1 , u2 U (u1 + u2) = (u1) + (u2) .
Действительно, (u1 + u2) = ((u1 + u2)) = ((u1) + (u2)) = ((u1)) + ((u2))) = = (u1) + (u2) .
Однородность: u U F (u) = ((u)) .
В самом деле, (u) = ((u)) = ((u)) = (((u))) = ((u)).
В качестве следствия немедленно получается следующее свойство:
80. Композиция мономорфизмов – мономорфизм, композиция эпиморфизмов – эпиморфизм, композиция изоморфизмов – изоморфизм .
90. Если : V W – изоморфизм векторных пространств, то обратное отображение –1 : W V также является изоморфизмом векторных пространств.
Нужно проверить только гомоморфность отображения –1 , т.к. его биективность следует из биективности отображения .
Линейность: w1 , w2 W –1(w1 + w2) = –1(w1) + –1(w2).
В самом деле, если w1 , w2 W , то (ввиду эпиморфности ) найдутся v1 , v2 V со свойством wi = (vi) (i = 1, 2). Поэтому w1 + w2 = (v1) + (v2) = (v1 + v2) и (по определению обратного отображения –1) –1(w1 + w2) = v1 + v2 = –1(w1) + –1(w2) .
Однородность: w W F –1( w) = –1(w).
Действительно, если w W , то (ввиду эпиморфности ) найдётся v V со свойством w = (v). Поэтому w = (v) = (v) и (по определению обратного отображения –1) –1( w) = v = –1(w) .
Теорема (об изоморфизме векторных пространств одинаковой размерности). Пусть V , W – два конечномерных векторных пространства над одним и тем же полем F. Тогда следующие условия эквивалентны: (1) V W, (2) dim V = dim W .
Доказательство. (1) (2) Пусть : V W – изоморфизм векторных пространств. Если V = {0V}, то W = {0W} (почему ?!) и dim V = 0 = dim W . В противном случае можно выбрать базис b = (b1 , … , bn) пространства V, и по свойству 60 , заключить, что к. с. в. (b) = ((b1) , … , (bn)) является базисом пространства W, т.е. dim V = n = dim W, что и требовалось.
(2) (1) Если dim V = dim W = 0, то V = {0V}, W = {0W} и отображение : V W, заданное правилом (0V) = 0W будет искомым изоморфизмом (почему ?!).
Пусть теперь dim V = dim W = n > 0. Докажем вначале, что V n F. Для этого рассмотрим отображение : V n F, заданное правилом v V (v) = [v]b , где b – некоторый фиксированный базис векторного пространства V. Это отображение будет (по теореме о координатах вектора в базисе) изоморфизмом векторных пространств (почему ?!).
Аналогично строится изоморфизм : W n F . Отображение –1 : V W и будет искомым изоморфизмом векторных пространств. Теорема доказана.