Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Тобольский государственный педагогический институт

имени Д.И. Менделеева”

Кафедра алгебры и геометрии

Валицкас А.И.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО АЛГЕБРЕ:

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Тобольск 2001

С О Д Е Р Ж А Н И Е

	§ 1. Определение и примеры векторных пространств . .	4
	§ 2. Простейшие свойства векторных пространств . . .	8
	§ 3. Подпространства и линейные оболочки . . . .	9
	§ 4. Линейно зависимые и независимые системы векторов .	13
	§ 5. Эквивалентные системы векторов . . . . .	15
	§ 6. Базис и ранг конечной системы векторов . . . .	17
	§ 7. Базис и размерность конечномерного векторного пространства . . . . . . . . . . .	20
	§ 8. Координаты вектора в базисе. . . . . . .	21
	§ 9. Изоморфизмы векторных пространств . . . .	22

На протяжении всей главы символ F будет обозначать некоторое поле. Как правило, для приложений достаточно предполагать, что F  {Q , R , C}.

§ 1. Определение и примеры векторных пространств

Пусть задано некоторое непустое множество V с одной бинарной операцией сложения + и множеством { |   F} унарных операций  (умножений слева на элементы   F). Тогда алгебра (V, +, { |   F}) называется (левым) векторным пространством над полем F, если выполнены следующие восемь аксиом:

(А+):  u, v, w  V (u+v)+w = u+(v+w) (ассоциативность сложения),

(К+):  u, v  V u+v = v+u (коммутативность сложения),

(N+):  0  V  v  V 0 + v = v + 0 = v (существование нулевого вектора),

(О+):  v  V  u  V v + u = u + v = 0 (существование противоположного вектора)

(A):  ,   F  v  V (v) = ()v (аналог ассоциативности умножения),

(N):  v  V 1v = v (аналог существования единицы)

(D+):    F  u, v  V (u+v) = u+v (аналоги дистрибутивности сложения и

 ,   F  v  V (+)v = v+v умножений на элементы поля F).

Таким образом, (V, + ) – абелева группа по сложению, удовлетворяющая четырём дополни­тельным условиям (A), (N), (D+). Иногда, допуская вольность речи, векторным про­странством называют само множество V. При этом нужно следить, чтобы из контекста было ясно, какие именно операции сложения и умножения на элементы поля подразумеваются, т.к. на одном и том же множестве можно задать разные операции.

Элементы множества V будут называться векторами и выделяться жирным шрифтом в отличие от элементов поля F, которые в дальнейшем будут именоваться скалярами.

Примеры векторных пространств

1. (M(m, n, F), +, { |   F}) – множество всех (mn)-матриц над полем F с обычными операциями сложения матриц и умножения их на числа из поля.

2. (Fⁿ , +, { |   F}) – частный случай предыдущего примера при m = 1. Это векторное пространство над полем F называется n-мерным арифметическим векторным пространством строк над F.

3. (^mF , +, { |   F}) – частный случай примера 1 при n = 1. Это векторное пространство над полем F называется n-мерным арифметическим векторным пространством столбцов над F.

4. (F, +, { |   F}) – частный случай примера 1 при m = n = 1.

Проверка аксиом в этих примерах уже сделана ранее при изучении матриц, операций над ними и простейших свойств этих операций. Поэтому аксиомы векторных пространств можно считать формализацией известных свойств арифметических векторных пространств.

5. Обобщение примера 4: пусть F – подполе поля P. Тогда P является векторным пространством над полем F относительно обычных операций сложения и умножений на элементы из F. Так, например, R – векторное пространство над Q, а C – векторное пространство над полем R .

6. Векторное пространство решений однородной системы линейных уравнений. Пусть AX = 0  ^mF – однородная система m линейных уравнений с n неизвестными над полем F. Тогда множество её решений L = {X  ⁿF | AX = 0} является векторным пространством относительно обычных операций над столбцами в ⁿF = M(n, 1, F) .

Прежде всего, нужно убедиться, что множество L замкнуто относительно сложения столбцов и умножений столбцов на скаляры. Это вытекает из доказанных ранее свойств решений однородных систем линейных уравнений: сумма решений является решением и решение, умноженное на элемент из поля F снова будет решением (докажите самостоятельно или вспомните, как это доказывалось !!). Выполнение аксиом векторного пространства следует из свойств операций над столбцами (восстановите детали самостоятельно !!).

Геометрический термин “вектор” используется в теории векторных пространств не слу­чайно – генеалогическое древо векторных пространств имеет геометрические корни.

7. Векторное пространство V₂(O, R) векторов плоскости с фиксированным началом.

Зафиксируем на некоторой плоскости  точку О и рассмотрим множество V = V₂(O, R) всех направленных отрезков плоскости  с началом в т. О: V = { | M  }. Превратим V в векторное пространство над полем R , введя (знакомую из школы) бинарную операцию сложения векторов по правилу параллелограмма (расшифруйте это правило для вырожденных случаев: один из векторов нулевой или вектора лежа­т на одной прямой !!) и унарные операции умножения вектора v  V на скаляр   R, состоящие в растяжениях вектора v в || раз и последующих изменениях его направления на противоположное, если  < 0 (что будет, если  = 0 ?!).

Проверка аксиом векторного пространства хотя и стандартна, но довольно утомительна. Поэтому все детали оставляются для самостоятельной работы по намеченному ниже плану.

(А+):  u, v, w  V (u+v)+w = u+(v+w)

Д остаточно доказать, что точки O, VW, UVW, U являются вершинами парал­лелограмма (почему ?!). При этом удобно использовать следующий критерий: четырёхугольник XYZT будет параллелограммом тогда и только тогда, когда YZ = XT и YZ || XT (докажите!!).

Поэтому нужно лишь проверить, что стороны (VW)(UVW) и OU равны по длине и параллельны. Это следует из рассмотрения четырёхугольника V(VW)(UVW)(UV): он является параллелограммом, т.к. V(VW) = OW , V(VW) || OW , (UVW)(UV) = OW и (UVW)(UV) || OW по построению. Значит, учитывая, что OV(UV)U – параллелограмм, получаем (VW)(UVW) = V(UV) = OU и (VW)(UVW) || V(UV) || OU , что и требовалось доказать.

(К+):  u, v  V u+v = v+u очевидно.

(N+):  0 =  V  v  V 0 + v = v + 0 = v очевидно.

(О+):  v  V  u = (–1)v  V v + u = u + v = 0 очевидно.

(A):  ,   F  v  V (v) = ()v

Очевидно, что два ненулевых вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые длины и направления. Сравниваем длины: |(v) | = |||v| = |||||v| = = |||v| = |()v | . Сравниваем направления: если  > 0, то оба вектора (v) и ()v сонаправлены с v; если  < 0, то оба вектора (v) и ()v противоположно направлены с v (почему ?!), а если  = 0, то оба вектора нулевые. Искомое равенство доказано (вы согласны ?!).

(N):  v  V 1v = v очевидно.

(D+):    F  u, v  V (u+v) = u+v

 ,   F  v  V (+)v = v+v

Для доказательства первого равенства нужно рассмотреть отдельно два случая:   0 и  < 0. В первом случае всё следует из следующего рисунка и свойств подобия треугольников.

Д ля доказательства второго равенства необходимо сравнить длины и направления векторов (+)v и v+v. Сравниваем длины: |v+v| = = = = |+||v| = |(+)v|.

Теперь сравниваем направления: вектор v+v сонаправлен с тем из векторов v или v, который имеет максимальную длину, т.е. он сонаправлен с v, если + > 0, и противоположно направлен с v, если + < 0 (почему ?!). Точно так же направлен и вектор (+)v (почему ?!), что и требовалось.

Итак, доказано, что V₂(O, R) – векторное пространство над полем вещественных чисел.

Упражнения: 1. В доказательстве ассоциативности сложения рассмотрите все возможные существенно различные случаи взаимного расположения векторов u, v, w и в каждом из них проведите необходимые рассуждения.

2. Заполните все пробелы в обосновании примера 7.

3. Докажите, что множество F[x] = {f_nxⁿ+f_n–1x^n–1+…+f₁x+f₀ | n  N, f_i  F (0 i n)} многочленов над полем F является векторным пространством над полем F относительно следующих естественных операций сложения и умножений на элементы поля:

.

4. Векторное пространство V₃(O, R) векторов трёхмерного пространства E³ с фиксированным началом. Зафиксируем в пространстве E³ точку О и рассмотрим мно­жест­во V = = V₃(O, R) всех направленных отрезков с началом в т. О: V = { | M  E³}. Превратим V в векторное пространство над полем R , введя бинарную операцию сложения векторов по правилу параллелограмма и унарные операции умножения вектора v  V на скаляр   R, определяемые аналогично соответствующим операциям в пространстве V₂(O, R). Проверьте самостоятельно, что получится векторное пространство над полем действительных чисел.

Векторные пространства вездесущи: предыдущие примеры показывают, что они возникают в геометрии и алгебре. Столь же естественны векторные пространства и в анализе.

5. Векторное пространство действительных отображений на множестве Х. Пусть Х – непустое множество и F(X, R) = {f: X  R} – множество всех отображений (всюду определённых на Х функций) из Х в R. Определим на F(X, R) структуру векторного пространства над R, т.е. зададим операции сложения и умножения на скаляры, удовлетворяющие аксиомам векторного пространства. Если f и g – два отображения из Х в R, то их суммой f+g будем называть отображение h: X  R, заданное правилом  x  X h(x) = f(x)+ g(x). В других обозначениях:  x  X (f+g)(x) = f(x) + g(x). Результатом умножения отображения f: X  R на действительное число  будем назы­вать отображение p: X  R, обычно обозначаемое через f, заданное правилом  x  X p(x) = f(x), или в других обозначениях: (f)(x) = f(x). Проверим некоторые аксиомы векторного пространства, оставляя проверку остальных в качестве упражнения.

(А+):  f, g, h  F(X, R) (f+g)+h = f+(g+h)

Действительно, введём обозначения f+g = k, k+h = l, g+h = q, f+q = r. Нужно доказать, что l = r, т.е. что при одинаковых значениях аргументов отображения l и r принимают одинаковые значения. По определению суммы отображений, имеем  x  X l(x) = = {(k+h)(x)} = k(x)+h(x) = {(f+g)(x)+h(x)} = (f(x)+g(x))+h(x) = { f(x),g(x),h(x)  R } = = f(x)+(g(x)+h(x)) = { f(x) + (g+h)(x)} = f(x)+q(x) = {(f+q)(x)} = r(x), что и требовалось.

(N+):  0  F(X, R)  f  F(X, R) 0+f = 0+f = f

В качестве нулевого отображения достаточно взять постоянную функцию со значением 0  R :  x  X 0(x) = 0. Тогда по определению суммы имеем  x  X (0+f)(x) = 0(x)+f(x) = = 0+f(x) = f(x) = f(x)+0 = f(x)+0(x) = (f+0)(x), что и требовалось доказать.

(A):  ,   R  f  F(X, R) (f) = ()f

В самом деле, обозначив f = k, k = l, ()f = r, докажем, что l = r , т.е. что при одинаковых значениях аргументов отображения l и r принимают одинаковые значения. По определению умножения отображения на действительное число имеем:  x  X l(x) = = k(x) = {((f))(x)} = (f(x)) = {, , f(x)  R} = ()f(x) = {(()f)(x)} = r(x).

(D+):    R  f, g  F(X, R) (f+g) = f + g

Как и ранее, по определению суммы отображений и умножения числа на отображение, полу­чим:  x  X ((f+g))(x) = ((f+g)(x)) = (f(x)+g(x)) = f(x)+g(x) = (f)(x)+(g)(x)= = (f+g)(x) , что и требовалось.

Упражнения: 1. Где использовалось, что F(X, R) содержит все отображения из X в R ?

2. Проверьте, что множество F(X, F) = {f: X  F} – множество всех отображений из Х в поле F является векторным пространством относительно аналогичным образом определённых операций сложения отображений и умножений на элементы поля F.

3. Пусть V – произвольное векторное пространство над полем F. Проверьте, что множество F(X, V) = {f: X  V} – множество всех отображений из Х в V является векторным пространством относительно аналогичным образом определённых операций сложения отображений и умножений на элементы поля F.

4. Докажите, что следующие множества будут векторными пространствами над R:

C⁰([a,b]) = {f  F([a, b], R) | f непрерывна на [a, b]},

C¹([a,b]) = {f  F([a, b], R) | f непрерывно дифференцируема на [a, b]},

L¹([a, b]) = {f  F([a, b], R) | |f| интегрируема на [a, b]},

B([a, b]) = {f  F([a, b], R) | |f| ограничена на [a, b]}.