8. Формулы Крамера для решения слау.

Метод Крамера (теорема Крамера) — способ решения квадратных СЛАУ с ненулевым определителем основной матрицы. Назван по имени Габриэля Крамера, автора метод.

Теорема Крамера. Если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

где   - определитель матрицы системы,   - определитель матрицы системы, где вместо   -го столбца стоит столбец правых частей.

Замечание

Замечание: Если определитель системы равен нулю, то система может быть как совместной, так и несовместной.

Замечание: Данный метод удобно применять для маленьких систем с громоздкими вычислениями, а так же если нужно найти одну из неизвестных. Трудность заключается в том, что необходимо считать много определителей.

Примеры решения систем уравнений

Пример

Задание. Найти решение СЛАУ   при помощи метода Крамера.

Решение. Вычисляем определитель матрицы системы:

Так как   , то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель   получим из определителя   заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

Аналогично, определитель   получается из определителя матрицы системы   заменой второго столбца столбцом свободных коэффициентов:

Тогда получаем, что

Ответ.  , 

9. Матричный метод решения слау.

С помощью данного метода можно находить решение только для квадратных СЛАУ.

Матричный метод решения

Запишем заданную систему в матричном виде:

Если матрица   невырождена, то тогда с помощью операций над матрицами выразим неизвестную матрицу   . Операция деления на множестве матриц заменена умножением на обратную матрицу, поэтому домножим последнее равенство на матрицу   слева:

Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу   надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.

Замечание

Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.

10. Минор матрицы, ранг матрицы. Минор

Минором   к элементу   определителя  -го порядка называетсяопределитель  -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием  -той строки и  -того столбца.

Задание. Найти минор   к элементу   определителя  .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

тогда 

Ответ. 

Алгебраическое дополнение

Определение

Алгебраическим дополнением   к элементу   определителя  -го порядка называется число 

Задание. Найти алгебраическое дополнение   к элементу  определителя   .

Решение. 

Ответ. 

Сумма произведений элементов "произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам  -ой строки определителя равна определителю, в котором вместо  -ой строки записана "произвольная" строка.

Сумма произведений элементов строки определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки равна нулю.

Ранг матрицы Ранг системы строк и столбцов матрицы

Определение

Рангом системы строк называется максимальное количестволинейно независимых строк этой системы.

В каждой матрице можно связать два ранга: строчный ранг (ранг системы строк) и столбцовый ранг (ранг системы столбцов).

Теорема

Строчный ранг матрицы равен её столбцовому рангу.