5. Формула полной вероятности.

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}), и полная группа попарно несовместных событий \{B_i\}_{i=1}^{n} \subset \mathcal{F}, таких что

\forall i \; \mathbb{P} \; (B_i) > 0 ;

\forall{j \ne i} \; B_i \cap B_j = \varnothing ;

\sum_{i=1}^n B_i=\Omega .

Пусть A \in \mathcal{F} — интересующее нас событие. Тогда

\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} \mathbb{P}( A \mid B_i) \mathbb{P}(B_i).

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть N — случайная величина, имеющая распределение

\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n).

Тогда

\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right],

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

6. Формула Бернулли.

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

Формулировка

Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность P_{k,n} того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна: P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k}, где q = 1 - p.

Доказательство

Пусть проводится n независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие A наступает с вероятностью P \left(A\right)= p и, следовательно, не наступает с вероятностью P \left(\bar{A}\right)= 1 - p = q. Пусть, так же, в ходе испытаний вероятности p и q остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате n независимых испытаний, событие A наступит ровно k раз?

Оказывается можно точно подсчитать число "удачных" комбинаций исходов испытаний, для которых событие A наступает k раз в n независимых испытаниях, - в точности это количество сочетаний из n по k:

C_n(k) = \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}.

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие A либо наступает, либо нет), то вероятность получения "удачной" комбинации в точности равна: p^k\cdot q^{n-k}.

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно k раз, нужно сложить вероятности получения всех "удачных" комбинаций. Вероятности получения всех "удачных" комбинаций одинаковы и равны p^k\cdot q^{n-k}, количество "удачных" комбинаций равно C_n(k), поэтому окончательно получаем:

P_{k,n}=C_n^k\cdot p^k \cdot q^{n-k} = C_n^k\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно также заметить, что в силу полноты группы событий, будет справедливо:

\sum_{k = 0}^n (P_{k,n})= 1.

Примеры

Изделие может оказаться дефектным с вероятностью р = 0.3 каждое. Из партии выбирают три изделия. Х – число дефектных деталей среди отобранных. Найти (все ответы вводить в виде десятичных дробей): а) ряд распределения Х; б) функцию распределения F(x). Решение. Случайная величина X имеет область значений {0,1,2,3}. Найдем ряд распределения X. P3(0) = (1-p)n = (1-0.3)3 = 0.34 P3(1) = np(1-p)n-1 = 3(1-0.3)3-1 = 0.44 P_{3}(2) = {3!}/{2!(3-2)!}0.3^{2}(1-0.3)^{3-2} = 0.19 P3(3) = pn = 0.33 = 0.027

xi 0 1 2 3 pi 0.34 0.44 0.19 0.027

Математическое ожидание находим по формуле M[X]= np = 3*0.3 = 0.9 Проверка: m = ∑xipi. Математическое ожидание M[X]. M[x] = 0*0.34 + 1*0.44 + 2*0.19 + 3*0.027 = 0.9 Дисперсию находим по формуле D[X]=npq = 3*0.3*(1-0.3) = 0.63 Проверка: d = ∑x2ipi - M[x]2. Дисперсия D[X]. D[X] = 02*0.34 + 12*0.44 + 22*0.19 + 32*0.027 - 0.92 = 0.63 Среднее квадратическое отклонение σ(x). sigma(x) = sqrt{D[X]} = sqrt{0.63} = 0.79 Функция распределения F(X). F(x<=0) = 0 F(0< x <=1) = 0.343 F(1< x <=2) = 0.441 + 0.343 = 0.784 F(2< x <=3) = 0.18900 + 0.784 = 0.973 F(x>3) = 1