5. Бесконечно-малые и бесконечно-большие функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Сравнение бесконечно малых

Определения[править | править вики-текст]

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же   величины   и   (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

• Если  , то   — бесконечно малая высшего порядка малости, чем  . Обозначают   или β≺α.

• Если  , то   — бесконечно малая низшего порядка малости, чем  . Соответственно   или α≺β.

• Если   (предел конечен и не равен 0), то   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается какα≍β или как одновременное выполнение отношений   и  . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

• Если   (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина   имеет  -й порядок малости относительно бесконечно малой  .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения[править | править вики-текст]

• При   величина   имеет высший порядок малости относительно  , так как  . С другой стороны,   имеет низший порядок малости относительно  , так как  .

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде  .

•  то есть при   функции   и   являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи   и 

• При   бесконечно малая величина   имеет третий порядок малости относительно  , поскольку  , бесконечно малая   — второй порядок, бесконечно малая   — порядок 0,5.

6. Определение производной функции, ее физический и геометрический смысл.

Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ееаргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием. Обратный процесс — нахождениепервообразной — интегрирование.

Геометрический и физический смысл производной[править | править вики-текст]

Тангенс угла наклона касательной прямой[править | править вики-текст]

Геометрический смысл производной. Награфике функции выбирается абсцисса x₀ и вычисляется соответствующая ордината f(x₀). В окрестности точки x₀ выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая (первая светло-серая линия C₅). Расстояние Δx = x — x₀устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную (постепенно темнеющие линии C₅ — C₁). Тангенс угла α наклона этой касательной — и есть производная в точке x₀.

Основная статья: Касательная прямая

Если функция   имеет конечную производную в точке   то в окрестности   её можно приблизить линейной функцией

Функция   называется касательной к   в точке   Число   является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции[править | править вики-текст]

Пусть   — закон прямолинейного движения. Тогда   выражает мгновенную скорость движения в момент времени   Вторая производная   выражает мгновенное ускорение в момент времени 

Вообще производная функции   в точке   выражает скорость изменения функции в точке  , то есть скорость протекания процесса, описанного зависимостью