3.Определение предела функции, основные свойства пределов.
Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.
Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.
Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).
В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножествобласти определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.
Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».
Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений существует окрестность этого значения такая, что в любой сколь угодно малой окрестности точки, в которой функция принимает заданное значение, существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами указанной окрестности.
Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказываетсянепрерывной (в данной точке).
4. Первый и второй замечательный пределы.
Первый замечательный предел
Доказательство
Рассмотрим односторонние
пределы 
и 
и
докажем, что они равны 1.
Пусть 
.
Отложим этот угол на единичной окружности
(
).
Точка K —
точка пересечения луча с окружностью,
а точка L —
с касательной к единичной окружности
в точке
.
Точка H —
проекция точки K на
ось OX.
Очевидно, что:
(1)
(где 
—
площадь сектора 
)
(из 
: 
)
Подставляя в (1), получим:
Так
как при 
:
Умножаем
на 
:
Перейдём к пределу:
Найдём левый односторонний предел:
Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.
Следствия
Второй замечательный предел[править | править вики-текст]
или 
Доказательство второго замечательного предела:
Доказательство для натуральных значений x [показать]
Зная,
что второй замечательный предел верен
для натуральных значений x, докажем
второй замечательный предел для
вещественных x, то есть докажем, что 
.
Рассмотрим два случая:
1.
Пусть 
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами: 
,
где 
—
это целая часть x.
Отсюда
следует: 
,
поэтому
.
Если
,
то 
.
Поэтому, согласно пределу 
,
имеем:
.
По
признаку (о пределе промежуточной
функции) существования пределов 
.
2.
Пусть 
.
Сделаем подстановку 
,
тогда
.
Из
двух этих случаев вытекает, что
для
вещественного x. 
Следствия
1.
2.
3.
4.
5.
для 
, 
6.