§ 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

2.1. Производная функции.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то производная существует и функция называется дифференцируемой в точке . Производная обозначается также или . Процесс нахождения производной называется дифференцированием функции.

Правила дифференцирования функций. Пусть - постоянная, а , - функции, имеющие производные, тогда

1. .

2. = .

3. .

4. .

5. , .

6. Если функция дифференцируемая по , а функция по x, то сложная функция имеет производную (правило дифференцирования сложных функций).

Таблица производных элементарных функций

1. .

1а. . 1б. .

2. . 2а. .

3. . 3а. .

4. . 5. .

6. . 7. .

8. . 9. .

10. . 11. .

Пример 1. Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найти производные следующих функций:

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) .

Решение. 1) Перепишем данную функцию в виде: , тогда

.

2) Записываем данную функцию в виде степени: и вычисляем: .

3) Применив правило дифференцирования произведения (формула 4), находим:

.

4) Дифференцируя функцию как сложную находим производную:

.

5) По правилу дифференцирования частного (формула 5) получаем:

.

6) По аналогии с примером 3 находим:

.

7) Так как данная функция - показательная, то, согласно формуле 2

2.2. Производные высших порядка. Производной второго порядка (второй производной) от функции называется производная от ее производной, т.е.

.

Вторую производную также обозначают или . Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т. д. Производную -го порядка обозначают или .

Пример 3. Найти вторую производную функции .

Решение. Найдем сначала первую производную функции

, тогда вторая производная .

2.3. Геометрические приложения производной.

Теорема. Если кривая задана уравнением , то значение производной в точке , равно угловому коэффициенту касательной к кривой в точке : , где (см. рис 9).

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

или .

Определение. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к кривым в этой точке.

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами и находится по формуле:

,

причем знак “плюс” соответствует острому углу θ, а знак “минус” – тупому.

Если , то касательные – взаимно перпендикулярны, а кривые называются ортогональными.

Пример3. Найти уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой . Сделать чертеж.

Решение. График функции – парабола. Так как при , , то вершиной параболы является точка (2; –1). По условию, касательная к параболе и данная прямая , заданная уравнением , параллельны, значит, их угловые коэффициенты равны:

, ,

.

Следовательно, - абсцисса точки касания параболы и прямой , – ее ордината. Таким образом, уравнение касательной имеет вид:

или (см. рис.10).