Логика высказывания

Логика высказывания – примитивная теория логики в форме алгебры. Например: Иванов говорит, Петров врет, Петров говорит, что Сидоров врет, а Сидоров говорит, что и Иванов, и Петров врут. Кто врет?

Данная теория позволяет решать задачи 1го и 2го типа. Высказывание – это мысль, имеющая истинностное значение. В классической логике под истинностными значениями понимается истина или ложь. Например: На улице идет дождь – это высказывание. В данный момент это ложь. Сократ – человек – это высказывание и оно истинно. Высказывания делятся на простые и сложные.

Сложные высказывания состоят из простых, а раз высказывание может быть истинным или ложным, то сложно высказывание можно разделить на простые, которые могут быть истинными или ложными. Предметом логики высказывания являются логические связи и отношения между высказываниями. При этом внутренняя структура простых высказываний не учитывается.

Простые высказывания обозначаются – А,В,С,… Пример простейшей связи: на улице идет дождь и снег. Такой способ связи называется конъюнкция. Обозначается знаком А & В (союз «и»). В отличие от союза «и» смысл логического союза выражен другими союзами (а, и, но и т.д.). Свойство конъюнкции – коммутативность (перестановка), т.е. не имеет значение в каком порядке находятся простые высказывания.

Следующий логический союз – дизъюнкция (союз «или»). Также может выражена союзами «то ли, то ли». Обозначается знаком А V В.

Строгая дизъюнкция отличается тем, что она фиксирует строгую альтернативу. Например: я пойду либо на работу, либо останусь дома. Обозначается .

Следующий союз – импликация (условная связь). Например: если сахар опустить в воду, то он растворится. Обозначается знаком A Ͻ B

Следующий логический союз – эквиваленция (тогда и только тогда). Обозначается А ≡ В.

Все эти союзы называются бинарными, т.к. обозначают связь между 2мя высказываниями. Также есть унарный союз – отрицание (частица «не»). Обозначается ~A (

Логические союзы могут связывать как 2 простых аргумента, так и более сложные аргументы. Например: если на улице идет дождь, то Маша сидит дома и смотрит телевизор. Это высказывание сложное и состоит из 3х высказываний. Обозначим их А, В, С.

Следующий шаг – необходимо установить связи между этими высказываниями (2). А Ͻ (В&С). Скобки используются в том же смысле, как и в математике.

Пример 2. Если травка зеленеет и солнышко блестит, то ласточка летит, но если ласточка не летит, то неверно, что травка зеленеет или солнышко блестит. Сколько здесь простых высказываний? Ответ: травка зеленеет, солнышко блестит, ласточка летит. Одинаковые высказывания обозначаются одинаковыми буквами. В этом случае имеем (3).

((А & B) Ͻ C)&(~C Ͻ (A v B))

Унарный союз может относиться к целой группе высказываний. В этом случае мы отрицаем дизъюнкцию.

Высказывательные (оппозиционарные) формы – формулы высказывания (как в примерах). Каждой высказывательной форме соответствует бесконечное множество бессодержательных формул. В этом случае мы можем анализировать логически свойства.