2.1.2. Особливості актуалізації знань з геометрії

( на матеріалі теми " Розв’язування трикутників",

за підручником Погорєлова О. В. Геометрія, 7-9).

Витяг із тематичного плану

(подано орієнтовну кількість годин)

Номер уроку	Тема уроку	Кількість годин
1	Теорема косинусів	1
2	Наслідки з теореми косинусів	1
3	Розв’язування задач із застосуванням теореми косинусів і наслідків з неї	1
4	Теорема синусів	1
5	Співвідношення між кутами і протилежними сторонами трикутника	1
6	Розв’язування задач	1
7 – 9	Розв’язування трикутників	3
10	Тематичне оцінювання. Контрольна робота "Розв’язування трикутників"	1

Урок 1. Теорема косинусів

Мета. Познайомити учнів з теоремою косинусів і наслідком з неї

Тип. Урок ознайомлення з новим матеріалом

Необхідні знання на уроці:

1)прямокутний трикутник, теорема Піфагора;

2)додавання і віднімання векторів.

Актуалізацію проводимо так:

1.Перевірка д/з

Попередньою була тема "Вектори на площині". Викликаємо до дошки учнів із середнім рівнем засвоєння знань.

2. Поки вони готуються, вчитель працює з іншими учнями. Іде повторення знань про прямокутний трикутник шляхом усного та напівусного розв’язування задач типу:

В прямокутному трикутнику дано:

а) довжина катетів 3см і 4см. Знайти довжину гіпотенузи.

б) довжина гіпотенузи 13см, катета- 3см. Знайти довжину іншого катета.

в) величина одного з кутів 45°, довжина прилеглого до нього катета 1 дм. Знайти довжину гіпотенузи та іншого катета.

3. Після розв’язування задач весь клас слухає пояснення д/з. У кінці вчитель задає питання про додавання та віднімання двох векторів за правилом трикутника; про скалярний добуток векторів; піднесення вектора до квадрату.

Якщо виникають труднощі у відповідях, то вчитель звертається до всього класу.

4. Розв’язати задачу у.в.р. за мал.1: АВС - довільний трикутник

В

2 ?

А 30 3 С мал.1

3√3

Далі вчитель ставить проблему: чи можна визначити довжину сторони у довільному трикутнику, якщо відомі довжини двох інших сторін і величина кута між ними?

І переходить до пояснення нового матеріалу про теорему косинусів.

Урок 2. Наслідки з теореми косинусів

Мета. Вивести наслідки теореми косинусів. Закріпити теорему косинусів і наслідки з неї, шляхом розв’язування задач.

Тип. Урок закріплення вивченого

Актуалізацію проводимо у формі перевірки д/з на засвоєння теореми косинусів:

1. Один із учнів високого рівня володіння знаннями доводить теорему біля дошки.

2. Поки він готується, перевірити:

а) виконання д/з;

б) формулювання теореми косинусів;

в) за малюнком 2 знайти невідому сторону трикутника:

?

2

а b

5 мал. 2.1. мал. 2.2.

. а

мал. 2.3.

Учителю слід приділити максимум уваги учням початкового та середнього рівнів засвоєння знань.

3.Прослухати доведення теореми косинусів.

4. Розв’язати задачу за мал.3 ( біля дошки працює у.с.р. )

В С

A 10 D

мал. 3

Потім пропонуємо задачу про суму квадратів діагоналей паралелограма, що слідує з теореми косинусів. Далі – розв’язування вправ.

Урок 3. Розв’язування задач із застосуванням теореми косинусів і наслідків з неї

Мета. Закріплення навичок використання теореми косинусів для розв’язування задач; перевірка засвоєння теми

Тип. Урок закріплення вивченого

Запитання до розв’язання д/з

До задачі 2 §12

● Як записати теорему косинусів для знаходження шуканої сторони? ( х² = 5² + 6² - 2 5 6 cos α )

● Як знайти cos α ? Яким числом може бути значення cos α ? (cos ²α +sin²α =1,отже cos ²α =0,64, cos α =+-0,8. cos α ‹ 0,якщо кут тупий, cos α › 0,якщо кут гострий. У задачі дві відповіді.)

До задачі 4 § 12

● Яким може бути кут між діагоналями паралелограма? (Гострим або тупим. Задача має два розвязки.)

Д о задачі 6 § 12

4 5

х 6 - х

мал. 4

● Знайдіть проекції сторін 4 і 5 м на сторону 6 м даного трикутника ( мал.4 ). ( 4² - х² = 5² - ( 6 – х )² ,

де х – проекція сторони 4 м на сторону 6 м, а 6 – х – проекція сторони 5 м на сторону 6 м.)

До задачі № 8 §12

● Як знайти висоту трикутника, проведеного до сторони 6 м? ( Знаходимо проекції двох інших сторін на сторону 6 м, як це було зроблено в задачі 6, а потім за теоремою Піфагора – шукану висоту даного трикутника ).

● Сформулюйте наслідки теореми косинусів.

Урок 4. Теорема синусів

Мета. Засвоєння учнями змісту й доведення теореми синусів і використання її для розв’язування задач

Тип. Комбінований урок

З метою актуалізації знань учням пропонуються завдання, які потрібно виконати на чернетках. На вимогу вчителя одержані відповіді учні пишуть на індивідуальних дошках і показують учителеві. Умови задач і малюнки до них поміщено на дошці.

Завдання класу

● У трикутнику АВС АС = b, кут А = α. Знайдіть висоту трикутника h, якщо: а) α – гострий кут;

б) α – тупий кут.

● Дано: ab = mn ( a, b, m, n – числа, відмінні від нуля ). Складіть із цих чисел пропорцію. Чи завжди задача має розв'язок.

● Як знайти довжину сторони ВС у трикутнику АВС, якщо АВ = 3 см, АС = 4 см, кут ВАС = 30°?

● Як знайти кути трикутника АВС, якщо АВ = 3 см, ВС = 4см, АС = 2см?

Урок 5. Співвідношення між кутами і протилежними сторонами трикутника

Мета. Ознайомлення учнів зі змістом і доведенням наслідку теореми синусів

Тип. Урок закріплення вивченого

Перевірка д/з й актуалізація знань учнів

Двоє учнів біля дошки готують розв’язання домашніх задач № 9,13. Наведемо розв’язання однієї з них.

Задача 9 §12. Нехай у трикутнику АВС проведено медіану АО, що дорівнює х (х>0) (мал. 5). Відкладемо на промені АО від точки О відрізок ОД, який дорівнює відрізку АО. Тоді чотирикутник АВСД - паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма (наслідок із теореми косинусів) (2х)²+ВС²=2 АВ²+2 АС². Звідси 4х²+5²=2 6²+2 7², тобто х²=145/4, х=√145/2.Відповідь.√145/2 м.

Д С

6 О

А 6 В

мал. 5

Запитання до класу

● Як читається і записується теорема синусів для задачі 12§12, якщо припустити, що АВ=с, АС=b, а

sin ß =3/4?(с/sin γ=b/sin ß,15/sin γ=10/sin ß, 3/sin γ=2 4/3/)

● Чому дорівнює sinγ в цій задачі? Чи можливо це? (sin γ=9/8. Це неможливо, тому що синус кута не може бути більший від 1. Тому sin ß=3/4.)

Урок 6. Розв’язування трикутників

Мета. Розв’язування задач з використанням теорем синусів і косинусів та їх наслідків

Тип. Урок закріплення вивченого

Перевірка д/з й актуалізація знань учнів

Опитування учнів за картками ( у.в.р. )

Картка 1. Відповісти на контрольне запитання 4 §12

Картка 2. Довести властивість бісектриси кута трикутника

Поки викликані учні готуються до відповіді, клас намічає хід розв’язування задачі 14 §12 за заздалегідь підготовленим малюнком (мал. 6).

Розв’язання:

1. За теоремою косинусів ( а² = в² + с² - 2вс соs α ) знаходимо соs α.

2. За формулою sin² α + cos² α = 1 знаходимо sin α.

3. а/ sin α = 2R ( на підставі опорної задачі 13 §12 ).

Тоді R = а/2 sin α.

α

с в

а

мал.6

Наведемо приблизний зразок запису розв’язання задачі на властивість бісектриси кута трикутника.

Розв’язання:

Застосуємо теорему синусів до трикутників АВС і СВD. АD/sin ß = АВ/sin α; СD/sin ß =

= ВС/ sin( 180° - α ) = ВС/sin α. Якщо першу рівність розділити на другу, то дістанемо АD/СD =

= АВ/ВС, що й було потрібно довести.

Урок 7. Розв’язування трикутників

Мета. Формування умінь учнів розв’язування задач з даної теми

Тип. Урок узагальнення і систематизації вивченого матеріалу

Учитель зазначає, що на цьому уроці буде систематизовано знання учнів з теми "Розв’язування трикутників"; виділено основні типи задач, розглянуто їх. Нагадує учням зміст основних задач на розв’язування прямокутних трикутників. Підкреслює, що розв’язування цих задач ґрунтується на теоремі Піфагора й означеннях понять sin α, cos α, tg α, де α-гострий кут прямокутного трикутника.

Урок 8. Розв’язування трикутників

Мета. Формування умінь учнів розв’язування задач з даної теми

Тип. Урок узагальнення і систематизації вивченого матеріалу

Перевірка д/з й актуалізація знань учнів

1. Викликані до дошки учні середнього рівня засвоєння знань пояснюють розв’язування задач №15,28(2-4) §12.

2. Решта учнів виконують завдання математичного диктанту.

Математичний диктант

а) Якщо в трикутнику АВС відомі дві сторони b і c та кут між ними А, то третя сторона дорівнює … .

б) Якщо в трикутнику відома сторона а і два прилеглі до неї кути В і С, то дві інші сторони можна знайти так: … .

в) У трикутнику АВС АВ=4см, ВС=5см, АС=6см. Найбільший кут у трикутнику АВС- це кут … .

г) У трикутнику проти сторони а лежить кут α. Тоді радіус R кола, описаного навколо трикутника, можна знайти за формулою: … .

Після виконання завдань математичного диктанту учні звіряють ті відповіді, що дістали, з відповідями, записаними раніше вчителем на відкидній дошці, аналізують помилки. Так відбувається повторення основних властивостей, які застосовуються для розв’язування трикутників ( теореми синусів і косинусів, наслідки з них).

Урок 9. Розв’язування трикутників

Мета. Перевірка знань і умінь учнів розв’язування задач з даної теми, підготовка до к/р

Тип. Урок перевірки знань, умінь і навичок

1. Перевірка д/з .

2. У сно розв’язати трикутники за малюнками (типу малюнка 7):

а) б)

а ? ? ?

в а с

в)

а в

с

мал.7

3. Розв’язати задачу:

3.1. У.п.р. та у.с.р. працюють самостійно над індивідуальною задачею на безпосереднє застосування теореми синусів чи косинусів типу:

Довжини сторін трикутника 2 см і 5 см, кут між ними 135°. Знайти третю сторону.

3.2. У.д.р. та у.в.р. розв’язують задачу типу:

У рівнобічній трапеції довжина більшої основи a=3см, величина прилеглого до неї кута 60°, а довжина діагоналі d=6см. Знайти довжину бічної сторони трапеції.

Пояснення до задачі (дивись малюнок 8):

?

? ? ? d

a

a a

мал. 8

4. Підвести підсумок розв’язання задач; вказати окремим учням на необхідність допрацювати той чи інший матеріал під час підготовки до к/р.

Підготовку до к/р також можна провести у нетрадиційній формі, наприклад, як роботу в групах. В цьому випадку актуалізацію опорних знань проводимо у формі фронтального опитування.

Особливість організації актуалізації знань з геометрії полягає в тому, що від учнів початкового та середнього рівнів засвоєння навчального матеріалу не слід вимагати вміння доводити теореми, досить обмежитись вмінням чітко формулювати її і безпосередньо застосовувати під час розв’язування типових задач. Учні ж вищих рівнів оволодіння знаннями повинні доводити теореми, робити висновки з них і застосовувати набуті знання у багатокрокових задачах, які вимагають знань не лише з теми, що вивчається, а і з вивченого раніше матеріалу.

Ще хотілося б наголосити, що етапом актуалізації знань і вмінь не можна нехтувати, особливо у 9-му класі, адже це останній клас основної школи. Учні високого та достатнього рівнів засвоєння знань будуть продовжувати навчання у 10-12 класах, решта – підуть навчатися у середні спеціальні заклади. І першим, і другим необхідні міцні знання, до того ж знання, зведені у струнку систему. Цього можна досягти, працюючи поурочно на етапі актуалізації опорних знань, умінь і навичок.