1. Понятие о рациональных функциях.

Многочлен (или полином) от n переменных — это сумма одночленов или, строго, — конечная формальная сумма вида

, где

 — набор из целых неотрицательных чисел, именуемый мультииндексом,

 — число, именуемое коэффициент многочлена, зависящее только от мультииндекса I.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

, где

 — фиксированные коэффициенты,

 — переменная.

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.

Многочлен вида   называется одночленом или мономом мультииндекса  .

Одночлен, соответствующий мультииндексу   называется свободным членом.

Полной степенью (ненулевого) одночлена   называется целое число  .

Множество мультииндексов I, для которых коэффициенты   ненулевые, называется носителем многочлена, а его выпуклая оболочка — многогранником Ньютона.

Степенью многочлена называется максимальная из степеней его одночленов. Степень тождественного нуля доопределяется значением  .

Многочлен, являющийся суммой двух мономов, называется двучленом или биномом,

Многочлен, являющийся суммой трёх мономов, называется трёхчленом.

Коэффициенты многочлена обычно берутся из определённого коммутативного кольца   (чаще всего поля, например, поля вещественных иликомплексных чисел). В этом случае, относительно операций сложения и умножения многочлены образуют кольцо (более того ассоциативно-коммутативную алгебру над кольцом   без делителей нуля) которое обозначается 

Полиномиальные функции[править | править вики-текст]

Пусть   есть алгебра над кольцом  . Произвольный многочлен   определяет полиномиальную функцию

.

Чаще всего рассматривают случай  .

В случае, если   есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция   полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены   и   из  определяют тождественно равные функции 

Виды многочленов[править | править вики-текст]

Многочлен одной переменной называется унитарным или приведённым[en], если его старший коэффициент равен единице.

Многочлен, все одночлены которого имеют одну и ту же полную степень называется однородным.

Например   — однородный многочлен двух переменных, а   не является однородным.

Многочлен, который можно представить в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами из данного поля, называетсяприводимым (над данным полем), в противном случае — неприводимым.

Свойства[править | править вики-текст]

Кольцо многочленов над произвольной областью целостности само является областью целостности.

Кольцо многочленов от любого конечного числа переменных над любым факториальным кольцом само является факториальным.

Кольцо многочленов от одного переменного над полем является кольцом главных идеалов, то есть любой его идеал может быть порожден одним элементом.

Более того, кольцо многочленов от одного переменного над полем является евклидовым кольцом.

Делимость[править | править вики-текст]

Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение   делится на неприводимый многочлен  , то p или q делится на  . Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен  , неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного   разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого   существуют многочлены от   переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.