13. Разложение вектора по ортам координатных осей. Направляющие косинусы. Действия над векторами заданными проекциями.

Система ортов (или базисная система векторов) - это система единичных векторов осей координат.

Орт координатной оси   обозначается через  , оси   - через  , оси   - через   (рис. 1).

Для любого вектора   , который лежит в плоскости   , имеет место следующее разложение:

Если вектор   расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид: 

Направляющими косинусами  ,  ,   вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.

. Проекцией вектора на ось l () называется длина его компонентына осьl, взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением осиl, и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению осиl.

Если = 0, то полагают = 0.

Теорема 1. Проекция вектора на ось lравна произведению его модуля на косинус угла между этим вектором и осью l:

14. Скалярное произведение векторов и его свойства.

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними. и называется число (скаляр) равное . Скалярное произведение может быть представлено через проекцию векторов.

Свойства.

1.

2.

3.

4.

Выражение скалярного произведения через координаты.

Приложение.

Угол между векторами. Угол между не нулевыми векторами равен: работа постоянной силы.

15. Векторное произведение векторов и его свойства.

Векторным произведением вектора на вектор называется такой вектор , что :

1. Вектор

2. Длинна

3. Векторы образуют правую тройку

Три не комплонарных вектора a,b,c образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора a ко второму b виден совершающийся против часовой стрелки.

Свойства.

1. 

2. 

3. 

4. 

Выражение векторного произведения через координаты.

Приложение.

Установление кампланарности векторов.

Если , то

Нахождение площади параллелограмма и треугольника.

16. Смешанное произведение векторов и их свойства.

Смешанное произведение векторов и называются

Свойства.

1. смешанные произведения не меняются при циклической перестановки со множителями.

2. смешанное произведение изменяют знак при перемене мест любых двух векторов со множителями

3. Смешанные произведения равны нулю тогда и только тогда когда a,b,c – комплонарны.

Выражение смешанных произведений через координаты.

Приложения.

1. Определение взаимного расположения в пространстве.

- правая тройка.

- левая тройка

2. Объём параллелепипеда и тетраэдра.