2. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана

Принцип оптимальности впервые был сформулирован Р. Беллманом: для любого состояния системы, на любом ближайшем шаге, нужно применить такое управление, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах, приводило к конечному оптимальному выигрышу.

Исходная задача динамического программирования рассматривается как последовательность задач, при этом каждая задача представляет последовательный одношаговый, двухшаговый, …, n-процесс.

Рассмотрим -шаг.

Имеем – состояние системы к началу n-го шага, – конечное состояние, – управление на -шаге, – целевая функция (выигрыш) -шага.

Согласно принципу оптимальности, нужно выбирать так, чтобы для любых состояний получить максимум целевой функции на этом шаге.

– показатель эффективности -шага, если – произвольная. Поэтому:

если знаем , то находим

– условный оптимальный выигрыш на -шаге.

Рассмотрим:

В результате получаем условия оптимальности решений на -шаге:

т. к.

Получаем уравнение Беллмана:

В результате решения уравнения Беллмана получим:

, поэтому можно найти

В результате получим 2 последовательности: , .

Оптимальное управление задачи ДП:

3. Задача замены оборудования

При составлении динамической модели процесс замены рассматривают как n-шагов, разбивая весь период эксплуатации на n-шагов. Возможное управление на каждом шаге характеризуется начальными признаками: (сохранить оборудование), (заменить оборудование).

Процесс эксплуатации оборудования требует текущего и капитального ремонта. Необходимо определить такой план-график эксплуатации и замены оборудования в течение k лет, который обеспечивает максимальную прибыль.

Суммарная прибыль определяется по формуле:

Общая структурная схема расчета по схеме Беллмана суммарной прибыли имеет вид:

1. Реализация задачи в среде MathCad

Задачу использования ресурсов на каждый год при различных стратегиях эксплуатации оборудования будем реализовывать в программе MathCad (на примере 2004 года:

1. Замена

Таким образом, мы получили следующие результаты при замене оборудования в 2004 году:

1. оптимальный объём производства:

   1. дверь обычная деревянная — 980 шт.;

   2. кухонная — 57 шт.;

   3. филенчатая — 370 шт.;

   4. железная — 490 шт.;

   5. входная — 74 шт.;

2. объем закупаемых ресурсов:

   1. дерево — 290 куб. м;

   2. металл — 39 куб. м;

   3. дверные замки — 1520 шт.;

   4. крепежные петли — 3316 шт.;

   5. шурупы — 17218 шт.;

   6. стекло — 8 кв. м;

   7. краска — 113 л;

3. объём прибыли — 781380 руб.;

4. остатки ресурсов на складах — 0.

2. Сохранение

При сохранении оборудования мы получили следующие результаты:

1. оптимальный объём производства:

1. чугунные батареи — 933 шт.;

2. биметаллические батареи — 35 шт.;

3. алюминиевые батареи — 370 шт.;

4. стальные — 490 шт.;

2. объем закупаемых ресурсов:

   1. чугун — 352 куб. м;

   2. металл — 49 куб. м;

   3. алюминий — 1451 куб. м;

   4. сталь — 3178 шт.;

   5. крепежи — 19864 шт.;

   6. эмаль — 3 л;

   7. краска — 137 л;

3. объём прибыли — 1158513 руб.;

4. остатки ресурсов на складах — 0.

Решив задачу использования ресурсов для каждого года, получаем следующие данные:

Год		Прибыль (руб.)
2010	замена	781380
	сохранение	1159713
2011	замена	-22259
	сохранение	372988
2012	замена	323754
	сохранение	542817
2013	замена	-218746
	сохранение	278361
2014	замена	-103355
	сохранение	389198