5.Выпишите е1,е2,ех для пфкд.

Функция Коба-Дугласа

или

где Y - объем выпуска, K - величина производственных фондов (капитал), L - затраты труда,   - числовые параметры (масштабное число и показатель эластичности).

Эластичность функции Коба-Дугласа.

6.Докажите принцип оптимальности Белмана.

Сформулированный Р. Беллманом принцип оптимальности гласит: отрезок оптимального процесса от любой его точки до конца процесса сам является оптимальным процессом с началом в данной точке.

Изображена оптимальная траектория «Выберем производственный момент времени, 0<t₁<T

Предположим, что принцип оптимальности неверен. Тогда существует другой участок траектории, который будет оптимальным на последнем интервале (t1,T), тогда интеграл I в силу свойства аддитивности можно записать так:

1. На оптимальной траектории (I-II):I₁=

2. По ( I-III): I₂ =

↓↓↓

I₂<I₁ - противоречие тому, что траектория I,II является оптимальной

7.Дайте определение оптимальности по Слейтеру.Приведите примеры.

Точка х_с Хназывается оптимальной по Слейтеру,если х_с Х х Х U(x)>U(x_c).В пространстве критериев U_c U U U,U>U_c.

8.Сформулируйте теорему Фон-Неймана..Приведите примеры игр,не имеющих седловую точку.

Теорема фон Неймана утверждает, что в такой ситуации существует "устойчивая" пара стратегий, для которых минимальный проигрыш одного игрока совпадает с максимальным выигрышем другого.

Игра задается платежной матрицей (mxn) (столб х строк). Чистая стратегия – игрок использует конкретно 1/2/3 стратегию.

У игрока А есть стратегии А1, А2…Аn – смешанные стратегии. Стратегии используются с вероятностью (Р1,…Рn). В сумме дают 1. (0, 1, 0 0 0 0 0 ..0) – чистая стратегия.

У игрока В аналогично: В1…Вm –стратегии. (q1….qm) – вероятности.

Оптимальная стратегия – стратегия, которая дает игроку А макс средний выигрыш и мин средний проигрыш игроку В.

Седловая точка– это пара чистых стратегий  (i_о,j_о)  соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство  α =β . Т.е: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке.

Теорема: каждая конечная игра имеет по крайней мере одно оптимальное решение, возможно среди смешанных стратегий.

Если седловая точка есть – смешанная стратегия. Если нет – то как находится (если седловой точки нет, то используется смешанная стратегия: А и В могут использовать все стратегии с некоторыми вероятностями)

Игры, имеющие и не имеющие седловые точки.

Если в игре с матрицей А α =β, то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры

 = α = β.

Седловая точка– это пара чистых стратегий  (i_о,j_о)  соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство  α =β . В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе:

                                    

где i, j– любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (i_о,j_о)– стратегии, образующие седловую точку.

Таким образом, исходя из (3), седловой элемент    является минимальным в i_о-й строке и максимальным в j_о-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (i_о,j_о) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент  , называется решением игры. При этом  i_о и j_о  называются оптимальными чистыми стратегиямисоответственно игроков 1 и 2.

Если седловой точки нет, то используется смешанная стратегия: А и В могут использовать все стратегии с некоторыми вероятностями.

Пример 1

Седловой точкой является пара  (i_о = 3; j_о = 1), при которой   = = = 2.

Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен  2 = = , она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.

Пример 2

 

 Из анализа матрицы выигрышей видно, что , т.е. данная матрица не имеет седловой точки. Если игрок 1 выбирает свою чистую максиминную стратегию  i = 2, то игрок 2, выбрав свою минимаксную  j = 2, проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию  i = 1, т.е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть 30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию  j = 1, т.е. отклониться от своей чистой минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-й стратегии и т.д.