11.2.2. Ознаки рівності і подібності трикутників

Трикутники називаються рівними, якщо їхні відповідні сторони і кути рівні.

Два трикутника рівні між собою, якщо:

1) дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника;

2) сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника;

3) три сторони одного трикутника дорівнюють відповідно трьом сторонам другого трикутника.

Якщо кути одного з двох даних трикутників відповідно дорівнюють кутам іншого, то ті іх сторони, що лежать навпроти рівних між собою кутів, називаються схожими сторонами. Два трикутника називаються подібними, якщо їх відповідні кути рівні між собою і сторони одного пропорційні схожим сторонам іншого.

Два трикутника подібні між собою, якщо:

1) два кута одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого;

2) дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого і кути, утворені цими сторонами, однакові;

3) відповідні сторони одного трикутника пропорційні сторонам другого.

11.2.3. Властивості медіан трикутника

Медіаною трикутника називається відрізок, що сполучає його вершину із серединою протилежної сторони (рис. 11.10, BD).

Три медіани перетинаються в одній точці (рис. 11.11), яка завжди лежить всередині трикутника і ділить кожну медіану на відрізки у відношенні 2:1 (починаючи від вершини).

Точку перетину медіан називають центром мас однорідного трикутника.

Медіана ділить трикутник на два рівновеликих, тобто таких, що мають однакові площі, трикутники (рис. 11. 12). Три медіани ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників (див. рис. 11. 13).

Рис. 11.10	Рис. 11.11	Рис. 11.12	Рис. 11.13

11.2.4. Властивості бісектрис трикутника

Бісектрисою трикутника називається відрізок бісектриси його кута, що лежить всередині трикутника (див. рис. 11.10, ВК).

Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка завжди лежить всередині трикутника, рівновіддалена від його сторін і є центром вписаного в трикутник кола (рис. 11.14). Бісектриса трикутника ділить його протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам (рис. 11.15).

Рис. 11.14	Рис. 11.15	Рис. 11.16	Рис. 11.17

11.2.4. Властивості висот трикутника

Висотою трикутника називається перпендикуляр, проведений з його вершини на пряму, яка містить протилежну сторону трикутника (див. рис. 11.10, ВМ).

У гострокутному трикутнику будь-яка з його висот лежить всередині трикутника (рис. 11.16). У тупокутному трикутнику висота, проведена з вершини тупого кута, лежить всередині трикутника, а дві інші - поза його межами. На рис. 11.17 відрізок ВD – висота трикутника ABC, проведена з вершини В на сторону АС.

Три висоти трикутника (або їх продовження) завжди перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника (рис. 11.16, точка О). У тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза трикутником, у гострокутному – всередині трикутника. У прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Сторони трикутника обернено пропорційні до його висот.