9.3. Похідна функції

9.3.1. Означення

Якщо існує границя відношення приросту функції до приросту аргумента за умови, , то функція називається диференційованою, а ця границя низивається похідною функції в точці х і позначається або . Тобто за означенням

.

Алгоритм знаходження похідної функції за означенням

1. Фіксуємо значенння х і знаходимо .

2. Недаємо аргументу х приросту і знаходимо .

3. Обчислюємо приріст функції .

4. Складаємо відношення .

5. Знаходимо границю відношення при .

9.3.2. Таблиця похідних

Операцію знаходження похідної називають диференціюванням.

1. .

2. , зокрема, якщо , то ; якщо , то ; якщо , то ; якщо , то .

3. , зокрема, якщо , то .

4. , зокрема, якщо , то .

5. , , , .

6. , , , .

9.3.2. Правила диференціювання

Якщо функції та диференційовані в точці, то мають місце наступні правила знаходження похідних.

1. Диференціювання суми: .

2. Диференціювання добутку: .

3. Диференціювання частки: .

9.3.3. Геометричний зміст похідної

Дотичною до графіка функції , яка є диференційованою в точці , називається пряма, що проходить через точку і має кутовий коефіцієнт .

Значить, геометричний зміст похідної полягає в тому, що значення похідної в деякій точці функції дорівнює значенню кутового коефіцієнта дотичної, проведеної до кривої даної функції в цій точці, за умови, звичайно, що функція є диференційованою, а отже, і неперервною в цій точці.

Рівняння дотичної до графіка функції в точці має вигляд:

.

Рівняння нормалі, проведеної до графіка функції в точці , має вигляд:

.

9.4. Застосування похідних до дослідження динаміки функцій

9.4.1. Ознаки зростання та спадання функції

Функція f, визначена на інтервалі , називається зростаючою, якщо для будь-яких значень і із цього інтервалу з нерівності випливає нерівність .

1. Якщо функція диференційована в інтервалі і є зростаючою на цьому інтервалі, то її похідна в будь-якій точці з інтервалу є невід’ємною.

Г

Рис. 9.3

еометричний зміст теореми. Нехай функція f зростає в інтервалі . Тоді її графік (рис. 9.3) є лінією, яка піднімається при русі зліва направо. Тому маленький відрізок дотичної, який майже збігається з ділянкою графіка, що містить точку дотику, також підніматиметься і утворюватиме гострий кут з додатним напрямком осі Ох або, у крайньому випадку, займатиме горизонтальне положення. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної в будь-якій точці кривої, тобто значення похідної, більше або дорівнює нулю.

2. Якщо функція f диференційована в інтервалі і в кожній точці цього інтервалу справджується умова , то функція зростає на цьому інтервалі.

Г еометричний зміст теореми. Нехай в інтервалі . Оскільки , де k – кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції , – кут, який утворює дотична з додатним напрямком осі Ох, то . Це означає, що – гострий кут.

Таким чином, якщо , то дотичні, проведені до графіка функції f в інтервалі , утворюють з додатним напрямком осі Ох гострі кути (рис. 9.4, а, б). Це свідчить про те, що графік напрямлено вверх, тобто функція f зростає на інтервалі (див. приклад 9.2).

Функція f, визначена на інтервалі , називається спадною, якщо для будь-яких значень і з цього інтервалу із нерівності випливає нерівність .

3. Якщо функція f диференційована в інтервалі і є спадною на цьому інтервалі, то її похідна в будь-якій точці з інтервалу не є додатною.

4. Якщо функція f диференційована в інтервалі і в кожній точці цього інтервалу справджується умова , то функція f спадає на цьому інтервалі.