1. Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)ⁿ, где a + b есть любой бином, а n - целое число. Каждое выражение - это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до "половины пути", а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Бином Ньютона.

Бином Ньютона - это отношение, позволяющая представить выражение (a + b)ⁿ (n ∈ Z⁺) в виде многочлена (полинома), а именно:

(a + b)ⁿ = aⁿ + С_n¹a^{n - 1}b + С_n²a^{n - 2}b² + ... + С_n^ka^{n - k}b^k + ... + С_n^{n - 1}ab^{n - 1} + bⁿ.

Числа С_n¹, С_n², ... , С_n^{n - 1} называются биномиальными коэффициентами.

Эта формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n < 0 и n – дробного.

С помощью следующей таблицы можно определить значения биномиальных коэффициентов для любой степени. Строится он следующим образом - любое число образуется суммой рядом стоящих чисел над ним. Именно потому эта таблица имеет название треугольник Паскаля.

0

1

1

1  1

2

1  2  1

3

1  3  3  1

4

1  4   6   4  1

5

1  5  10  10  5  1

6

1  6  15  20  15  6  1

7

1  7  21  35  35  21  7  1

8

1  8  28  56  70  56  28  8  1

Слева указана степень n, справа значения соответствующих биномиальных коэффициентов.

Пример: Представить в виде многочлена (a + 1)⁴.

Согласно таблице, в случае четвертой степени коэффициенты результирующего многочлена будут равны 1, 4, 6, 4, 1.

И, действительно (a + 1)⁴ = a⁴ + 4a³ + 6a² + 4a + 1.

2. Размещениями с повторениями называют упорядоченные последовательности, составленные из n элементов по m в каждой, где некоторые элементы (или все) могут быть одинаковы. Число размещений с повторениями равно .

Например, необходимо вычислить, сколькими способами можно распределить 7 пассажиров лифта по 4 этажам.

Очевидно, что на каждом из 4 этажей может выйти любое количество пассажиров, а общее число способов равно числу размещений с повторениями из 4 элементов по 7: .

Пусть размещения с повторениями содержат n элементов и при этом элемент повторяется раз; элемент – раз; ..., элемент – раз ( ). Такие упорядоченные последовательности называют перестановками с повторениями. Их число

= .

Если опыт состоит в выборе с возвращением m элементов множества, содержащего n элементов, но без последующего упорядочения, то различными исходами такого опыта будут всевозможные m-элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называют сочетаниями с повторениями. Их число

= .

Например, в кондитерской имеется 7 видов пирожных. Сколько различных наборов по 4 пирожных можно составить? Очевидно, что в данном случае следует использовать формулу числа сочетаний с повторениями .

Рассматривая задачу, необходимо выяснить, каким требованиям удовлетворяют комбинации элементов. Только после этого можно использовать нужные вычислительные формулы, комбинируя их с правилами суммы и произведения.