9.4.2.Краевые условия

Дифференциальное уравнение (9.12) описывает в самом общем виде все без исключения задачи теплопроводности. Для решения конкретной задачи необходимо к дифференциальному уравнению присоединить математическое описание частных ее особенностей. Эти дополнительные данные, которые характеризуют конкретное единичное явление, называются краевыми условиями, или условиями однозначности.

Существуют различные условия однозначности: геометрические — характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает про­цесс теплопроводности; физические — характеризующие физические свойства тела; временные — характеризующие распределение температуры тела в начальный момент времени; граничные — характеризующие взаимодействие тела с окружающей средой. Граничные условия в свою очередь бывают трех родов:

1) первого рода, задается распределение температуры на поверхности тела в функции времени;

2) второго рода, задается плотность теплового потока для всей поверхности тела в функции времени;

3) третьего рода, задаются температура окружающей среды t_ж и закон теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой — закон Ньютона—Рихмана: (9.13)

где t_c — температура поверхности тела; α — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²·К). Коэф­фициент теплоотдачи численно равен количеству теплоты, отдаваемому или воспринимаемому единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в один градус. Этот коэффициент учитывает все особенности явлении теплообмена, происходящие между поверхностью тела и окружающей средой. Плотность теплового потока, передаваемого от поверхности тела в окружающую среду, (9.14)

Согласно закону сохранения энергии, эта теплота равна теплоте, подводимой к поверхности изнутри тела путем теплопроводности:

Переписав последнее уравнение в виде:

(9.15)

получаем математическую формулировку граничных условий третьего рода. В результате решения дифференциального уравнения теплопроводности совместно с условиями однозначности можно найти температурное поле, а на основании закона Фурье — соответствующие тепловые потоки.

9.4.3.Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях первого рода

Рис. 9.2. Однородная плоская стенка

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ (рис. 9.2). На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме ( ) и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v=0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид: (9.16)

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:

(9.17) Граничные условия первого рода запишутся следующим образом: при x=0 t=t_c1; при x=δ t=t_c2. Интегрируя уравнение (9.17), находим

После второго интегрирования получаем (9.18)

Постоянные С₁ и С₂ определим из граничных условий: при x=0 t=t_c1, С₂=t_c1; приx=δ t=t_c2=С₁·δ+t_c1, отсюда  . Подставляя значения С₁ и С₂ в уравнение (9.18), получим уравнение распределения температуры по толщине стенки: (9.19)

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому  .

Учитывая, что  , получим (9.20)

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ,

(9.21) Отношение   называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину   - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λзависит от температуры, в уравнения (9.20), (9.21) необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ_с, взятый при средней температуре стенки.

ТЕПЛОВОЙ ПОТОК — количество теплоты, переданное через изотермическую поверхность в единицу времени. 

Т.П.количество теплоты, переданное через изотермическую поверхность в единицу времени. РазмерностьТ. п. совпадает с размерностью мощности (См. Мощность). Т. п. измеряется в Ваттах или ккал/ч (1 вт = 0,86ккал/ч). Т. п., отнесённый к единице изотермической поверхности, называется плотностью Т. п., удельным Т.п. или тепловой нагрузкой; обозначается обычно q, измеряется в вт/м² или ккал/(м²․ч). Плотность Т. п. —вектор, любая компонента которого численно равна количеству теплоты, передаваемой в единицу временичерез единицу площади, перпендикулярной к направлению взятой компоненты.

Температуропроводность (коэффициент температуропроводности) — физическая величина, характеризующая скорость изменения (выравнивания)температуры вещества в неравновесных тепловых процессах. Численно равна отношению теплопроводности к объёмной теплоёмкости при постоянномдавлении, в системе СИ измеряется в м²/с.

,

где   — температуропроводность,   — теплопроводность,   — изобарная удельная теплоёмкость, ρ — плотность

Температуропроводность и теплопроводность являются двумя из наиболее важных параметров веществ и материалов, поскольку они описывают процесс переноса теплоты и изменение температуры в них.

Величина коэффициента температуропроводности зависит от природы вещества. Жидкости и газы обладают сравнительно малой температуропроводностью. Металлы, напротив, имеют бо́льший коэффициент температуропроводности.

Коэффициент температуропроводности в тепловых процессах характеризует скорость изменения температуры. [2]

Коэффициент температуропроводности ( а) - служит мерой скорости, с которой пористая среда передает изменение температуры с одной точки в другую. [3]

Коэффициент температуропроводности характеризует скорость выравнивания температуры ( тепловую инертность) тела и по аналогии с коэффициентом диффузии, с которым он имеет одинаковую размерность, иногда называется коэффициентом тепловой диффузии. [4]

Вывод уравнения теплопроводности:

Рассмотрим задачу о распространении тепла в неревномерно нагретом твердом теле. В качестве величины, х арактеризующей процесс, возьмем температуру u(M,t), где M = M(x,y,z) - некоторая точка внутри рассматриваемого тела.

Посмотреть определения потока и дивергенции векторного поля

1) Будем рассматривать процесс распространения тепла посредством теплопроводности (т.е. при непосредственном контакте областей с разной температурой).

2) Для теплообмена посредством теплопроводности необходимо наличие ненулевого температурного градиента, т.е. различные части тела должны иметь разную температуру. При этом, так как каждая система стремится к своему равновесному состоянию, происходит переток тепла от более "нагретых" частей тела к более "холодным".

3) Для математического описания полей тепловых потоков введем в рассмотрение вектор плотности теплового потока  , имеющий направление от более "горячих" участков тела к более "холодным", а по величине равный количеству тепла, проходящему через единицу поверхности за единицу времени:  .

4) В основе аналитической теории теплопроводности лежит экспериментально установленный закон Фурье, согласно которому   , где λ - коэффицент теплопроводности среды (равен количеству тепла, переносимого в единицу времени через единицу поверхности при градиенте температуры , равном единице).

5) Будем считать, что наше изучаемое тело изотропно, т.е. λ = λ(x,y,z) и не зависит от выбора нормали к поверхности;   .

6) По определению потока для вектора   можем записать  .

П ри этом получим: если тело отдает тепло, то  ; если получает, то  . Условимся в дальнейшем для определенности считать поток теплаdQ_s, направленный внутрь тепла положительным. Для этого в определение потока введем знак "-" (минус). Тогда элементарный поток через поверхность dS за времяdt:  , и через всю поверхность S, ограничивающую объем Sза время  .

(1)   

7) Предположим, что внутри нашего объема есть источники тепла. Обозначим через F(M,t) - плотность тепловых источников (количество тепла, выделяемое в единице объема за единицу времени). Тогда во всем объеме V за время   выделится Q_V количества тепла: [для элементарного объема dV выделяемое количество тепла dQ_V = F(M,t)dVdt]:

(2)    .

8) В соответствии с 1^м началом термодинамики тепло, получаемое системой идет на изменение ее температуры и на совершение этой системой работы: Q = Cdu + δA. Будем считать, что δA = 0 (для твердых тел).

du - изменение температуры за время   в точке М:     (по теореме о конечных приращениях).

C - теплоемкость объема V, может быть расписана через удельную теплоемкость с, плотность вещества p и объем V: C_dV = c(M)(M)dV - для элементарного объема dV. Тогда

(3)     - для объема V.

В наш выделенный объем тепло δQ поступает за счет 2^x механизмов: переноса тепла через поверхность, и возникновения тепла за счет работы источников).

Q = Q_s + Q_V; т.е. Cdu = Q_s + Q_V.

Подставим (1), (2), (3):   

Применим теорему о среднем значении (дважды: по t и по V) к каждому из этих интегралов:

Поделим полученное соотношение на ( ) и перейдем к пределу при  , так как t₁ - любое время (могли вместо t₁ и t₂ взятьt и  ); получим уравнение, описывающее изменение температуры в любой точке М в любое время t.

(1)       или

    - уравнение теплопроводности.

Если среда однородна, то λ,c,p - const и λ можно вынести из под функции div,и, поделив на (cp), получим:

(1a)    ,     так как  , то

(1б)     - уравнение теплопроводности для однородной среды.

Если  , то уравнение будет однородным.

Рассмотрим теперь дополнительные условия, необходимые для однозначного решения задачи:

а) Необходимо знать начальное распределение температуры:

(2)   u(M,0) = φ(M);

б) Тепловой режим на границе. Основные виды тепловых режимов:

1. - на границе поддерживается определенная температура

2. - через границу подается определенный тепловой поток

3. - происходит теплообмен с внешней средой, температура которой известна.

Разберем более подробно каждый из типов:

1. (3а)   u/_s = f₁(P,t), где f₁ - известная функция, P є S; если поддерживается нулевая температура, то u/_s = 0.

2. Обозначим через ν(P,t) - плотность теплового потока на границе S. (Количество тепла, проходящего через единицу площади за единицу времени).

Пусть σ - произвольный участок поверхности S, ограниченный замкнутой гладкой кривой.

Р ассмотрим объем V в виде прямого цилиндра с основаниемσ и высотой h; второе основание - σ ₁ - есть поверхность параллельная σ ( ).

Для записи 1^го начала термодинамики (закон сохранении энергии):

Cdn = dQ;

;

;

;

.

при   интегралы по V, а также интеграл по  , при этом так как   и  .

Применяя дважды теорему о среднем (по t и по σ), устремляя  , получаем:

(3б)   

Если поверхность S теплоизолирована (ν = 0):   

3. Будем считать, что теплообмен между телом и окружающей средой происходит по закону Ньютона: плотность теплового потока ν(P,t), получаемого из внешней среды, пропорциональна разности температуры окружающей среды θ(t) и температуры u внутри V вблизи поверхности S.

( * )  ν(P,t) = H(θ(t) - u(P,t))   P є S (H - коэффициент теплообмена).

Таким образом, мы имеем случай II, где ν(P,t) имеем специфический вид (*), т.е.  ;

(3в)   .

В случае, если температура окружающей среды θ(t) = 0, получим однородное граничное условие 3^города:    .

Таким образом, мы приходим к задаче: найти решение уравнения теплопроводности (1), удовлетворяющее нормальным условиям (2) и одному из граничных условий (3). Совершенно аналогично ставятся задачи в одномерном и двумерном случаях. Для уравнения (1) можно также поставить задачу Коши (т.е. задачу без граничных условий)

Замечание: к уравнению (1) приводятся и другие физические задачи: уравнение диффузии, движение вязкой жидкости.

2.1. Метод разделения переменных для конечного стержня

http://de.ifmo.ru/--books/0051/index.html

http://de.ifmo.ru/--books/0051/2/2_1/21yrteplmetraz_1.htm

Уравнение теплопроводности относится к уравнениям параболического типа.

Уравнение теплопроводности имеет вид:

,

 - температура стержня в точке   в момент времени  ,  - связано с коэффициентами теплоемкости и теплопроводности.

Рассмотрим однородный стержень длины  , теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой (см. рисунок 1).

Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия. Для задач этого типа задается только одно начальное условие, а именно, начальная температура в начальный момент времени. Итак,

.

(1)

Краевые условия:

,

(2) (3)

где  -начальное распределение температуры в стержне.

Концы стержня закреплены в термостате. В данном случае тепловая энергя стержня не сохраняется, так как система не является изолированной.

Будем искать решение в виде произведения двух функций  где X(x)- функция только переменного x,  а T(t)- функция только переменного t.

     , так как левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x. Отсюда следует, что   Граничные условия (3) дают: X(0)=0 , X( )=0, тогда

(4) (5) (6)

Необходимо определить знак  .

1 случай: Пусть  .  Рассмотрим уравнение (4):  . Характеристическое уравнение имеет вид:  .

Рассмотрим уравнение (5):  . Характеристическое уравнение имеет вид:

.

(7)

Это решение не подходит, так как если  ,то  , а поэтому нарушается второй закон термодинамики, то есть происходит передача энергии от холодного к горячему. Докажем это математически, подставив начальные условия (6) в (7):

Значит   или  , но тогда мы получаем тривиальное решение и не можем удовлетворить начальным условиям. Следовательно, при   уравнение (1) имеет только нулевое решение.

2 случай: Пусть  , тогда

, следовательно, . , следовательно,  .  Подставим краевые условия  , получим  . В итоге получим нулевое решение  , а значит   не подходит.

3 случай: Пусть   и  , тогда

 .

Характеристическое уравнение имеет вид:

Общее решение может быть записано в виде:

.

(8)

Подставим краевые условия. . Получаем

.

(9)

Существуют нетривиальные решения уравнения (5), равные

.

(10)

Этим значениям   соответствуют решения уравнения (4) , где   - неопределенный пока коэффициент.

- общее решение.

Удовлетворим начальным условиям (2):  . Для выполнения этого начального условия необходимо взять в качестве   коэффициент Фурье:

. Для получения ответа необходимо подставить указанный коэффициент в общее решение задачи.

Уравнение теплопроводности для бесконечного стержня

Рассмотрим задачу с начальными данными на бесконечной прямой. А именно, найдем ограниченную функцию,  определенную в области  , удовлетворяющую уравнению теплопроводности

и начальному условию

где функция   задает начальное распределение температуры.

Сделаем преобразование Фурье по переменной   от уравнения и начального условия

   . 

Чтобы получить итоговое решение, нужно провести обратное преобразование Фурье

 .

Тогда общее решение имеет вид

- функция Грина для уравнения теплопроводности.

- общее решение (стандартный вид).

Эта функция дает решение уравнения теплопроводности с заданным начальным условием.

http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question22.pdf

http://pskgu.ru/ebooks/kgs/kgs_gl28_02.pdf

http://main.isuct.ru/files/publ/PUBL_ALL/0154.pdf

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8

!!!

http://edu.sernam.ru/lect_gam.php?id=32