6.2. Стандартное (нормированное) нормальное распределение

Если в формуле (6.1) а = 0; λ = 1, то

φ(z) = . (6.2)

П

Рис. 6.2. График кривой стандартного нормального

распределения

ри а = 0 и λ = 1 нормальное распределение называют стандартным (нормированным) нормальным распределением (рис. 6.2), а кривую – нормированной.

С

λ = 1

тандартная нормальная случайная величина обозначается Z. Запишем по установленному правилу: Z~N(z; 0,1²). Распределение φ(z) табулировано.

Свойства функции φ(z):

а) функция φ(z) – четная, т. е. φ(z) = φ(– z);

б) с увеличением z по абсолютной величине φ(z) монотонно убывает и при z → ∞ имеет пределом нуль;

в) при z = 4 φ(z) = 0,0001, при z = 5 φ(z) = 0,0000015, поэтому при |z | > 5 можно считать, что φ(z) = 0. В связи с этим таблицы ограничиваются значениями функции φ(z) для аргументов z = 4 или z = 5;

г) максимальное значение функция φ(z) принимает при z = 0.

Сравнивая (6.1) и (6.2), можно сделать вывод: плотность случайной величины, распределенной по нормальному закону, можно записать как:

W(x ) = . (6.3)

Любая нормально распределенная случайная величина может быть преобразована в стандартную (нормированную) нормально распределенную случайную величину.

Пример. 6.1. Пусть необходимо преобразовать случайную величину X~N(X; a, λ²) в случайную величину Z~N(Z;0,1²).

На рис. 6.3 изображена нормально распределенная случайная величина Х(а = 50; λ = 10). Как преобразовать ее в стандартную нормальную случайную величину (а = 0; λ = 1)?

а б

Рис. 6.3. Преобразование нормальной случайной величины с а = 50

и λ = 10 (б) в стандартную нормальную случайную величину (а)

Решение. Во-первых, перенесем распределение из центра, равного 50, в центр, равный 0. Это можно осуществить вычитанием 50 из всех значений X.

Во-вторых, превратим это распределение в стандартное, для чего произведем сжатие «ширины кривой» от 10 до 1. Поскольку общая площадь под кривой должна остаться равной 1, кривая должна расти вверх, чтобы сохранить ту же самую площадь (см. рис. 6.3). Сжатие кривой эквивалентно делению значений случайной величины на ее стандартное отклонение λ.

Итак, переход X в Z достигается преобразованием:

Z = (x – a)/ λ. (6.4)

При помощи формулы (6.4) можно преобразовать любую нормально распределенную случайную величину X в стандартную нормально распределенную случайную величину Z. Обратное преобразование стандартной нормальной случайной величины Z в Х~N(Х; a; λ²) можно осуществить по формуле:

X = a + Z∙λ. (6.5)

3. Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины.

   Интегральная функция Лапласа–Гаусса и ее свойства. Связь нормальной функции распределения с интегральной функцией Лапласа–Гаусса

Мы знаем, что если случайная величина задана плотностью распределения W(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α, ), определяется из выражения

.

Если случайная величина X ~ N(a; σ²), то

P( X ) = dx.

Для того чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами для вычисления вероятностей, преобразуем X в Z и найдем новые пределы интегрирования. Если х = , то z = ( – а)/λ, если х = , то z = ( – а)/λ. Тогда P( X ) = 1/(λ ),

где x = a + zλ; dx = λdz.

Интеграл вида dt называется интегралом вероятностей, или функцией Лапласа. Его обычно обозначают символом ₀(z):

(6.6)

Интеграл Лапласа в общем виде не берется. Его можно вычислить одним из способов приближенного вычисления интегралов. Эта функция табулирована. Пользуясь функцией Лапласа, окончательно получаем:

P(  X  ) = . (6.7)

Формула (6.7) называется интегральной теоремой Лапласа.

Свойства ₀(z):

а) функция ₀(z) является нечетной функцией; т. е. ₀(– z) = = –₀(z);

б) при z = 0 функция Лапласа равна нулю =0;

в) при z+∞ ₀(z) 0,5; при z –∞ ₀(z) –0,5.

Рис. 6.4. График интегральной функции Лапласа–Гаусса

Ф₀(4) = 0,499997, Ф₀(–4) = –0,499997. Значит, при z  4 можно считать, что Ф₀(4)  ± 0,5. Итак, все возможные значения интегральной функции Лапласа принадлежат интервалу (–0,5; +0,5).

Итак, функция распределения случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения, представленная через функцию Лапласа,

F(x) = 0,5+Ф_о[(x – a)/λ]. (6.8)

Рассмотрим ряд примеров на вычисление вероятностей при помощи таблиц стандартного нормального распределения и нахождение значений Z по заданной вероятности.

Пример 6.2. Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Z~N(Z; 0; 1²) окажется между 0 и 1,56. Это означает, что мы хотим определить P(0 < Z < 1,56).

Решение. На рис. 6.5 зафиксируем 1,56 для точки z – графика. По таблицам интеграла вероятностей [12, прил. 1] найдем значение z = = 1,56, равное вероятности 0,4406.

Рис. 6.5. Геометрическая интерпретация вероятности к примеру 6.2

Рис. 6.6. Геометрическая интерпретация P(Z <–2,47) к примеру 6.3

Пример 6.3. Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Z~N(Z; 0; 1²) примет значение, меньшее, чем – 2,47.

Решение. Так как кривая нормального распределения симметрична, то площадь под кривой слева от –2,47 равна площади под кривой справа от +2,47, т.е. P(Z > –2,47) = P(Z > 2,47) = 0,5 – 0,49324 = = 0,00676 (см. рис. 6.6).

Пример 6.4. Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина z примет значение, принадлежащее интервалу от 1 до 2.

Р

φ(z)

ешение. Искомая вероятность – это площадь под кривой между точками 1 и 2 (рис. 6.7) P(1 < Z < 2) = Ф₀(2)–Ф₀(1) = 0,47725–0,34134 = = 0,13591.

Рис. 6.7. Геометрическая интерпретация P(1< Z < 2) к примеру 6.4

В случае если надо вычислить вероятности значений случайной величины Z с числом знаков после запятой более двух, то используем линейную интерполяцию между двумя соседними значениями в таблице.

Во многих ситуациях может быть рассмотрена задача, обратная предыдущей: определение z по заданной вероятности попадания случайной величины в интервал.

Пример 6.5. Найти значение z стандартной нормально распределенной случайной величины, для которой вероятность попадания ее в интервал от 0 до Z будет равна 0,4.

Решение. В таблице интеграла вероятностей найдем значения, близкие к 0,4. Заметим, что все значения в таблице возрастают от 0 до 0,5. В таблице к 0,4 близко значение 0,39973. Этому значению соответствует Z = l,28 (на пересечении строки 1,2 и столбца 0,080).