Требования к математическим моделям
Основными требованиями к математическим моделям являются требования адекватности, точности, экономичности.
Модель всегда лишь приближенно отражает некоторые свойства объекта. Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Под точностью понимают степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели.
Адекватность оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности. Область адекватности – область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых пределах.
Пусть
относительная погрешность модели по
-му
выходному параметру:
,
где
–
-й
выходной параметр, рассчитанный с
помощью модели;
– тот же параметр, имеющий место в
моделируемом объекте.
Погрешность модели
по совокупности учитываемых выходных
параметров оценивается одной из норм
вектора
,
например
или
.
Точность модели
различна в разных условиях функционирования
объекта. Эти условия характеризуются
внешними параметрами. Если задаться
предельно допустимой погрешностью
,
то можно в пространстве внешних параметров
выделить область, в которой выполняется
условие
.
Эту область называют
областью адекватности (ОА) модели.
Возможно введение индивидуальных
предельных значений
для каждого выходного параметра и
определение ОА как области, в которой
одновременно выполняются все
условий вида
.
Пример ОА
(заштрихована) в двумерном пространстве
дан на рисунке. Здесь
–
-й
внешний параметр.
Определение областей адекватности для конкретных моделей - сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат. Эти затраты и трудности представления ОА быстро растут с увеличением размерности пространства параметров. Определение ОА – более трудная задача, чем, например, задача параметрической оптимизации, поэтому для моделей вновь проектируемых объектов ОА не рассчитывают.
Однако для моделей унифицированных элементов расчет областей адекватности становится оправданным в связи с однократностью определения ОА и многократностью их использования при проектировании различных систем. Знание ОА позволяет правильно выбирать модели элементов из числа имеющихся и тем самым повышать достоверность результатов машинных расчетов.
В общем случае ОА
может иметь произвольную форму, сведения
о которой выражаются громоздко, и
неудобна в использовании, поэтому на
практике вместо истинных ОА применяют
те или иные их аппроксимации. Наиболее
просто представляются и используются
сведения об областях, имеющих форму
гиперпараллелепипеда, который задается
двусторонними неравенствами:
,
где - размерность пространства внешних параметров.
Так для одной из возможных макромоделей логического элемента транзисторно-транзисторной логики, реализующего функцию И-НЕ, рассчитанная область адекватности выражается следующими неравенствами:
где
– напряжения питания;
– длительность фронта входного сигнала;
-
коэффициент нагружения;
– длительность входного сигнала.
В библиотеку
моделей элементов наряду с алгоритмом,
реализующим модель, и номинальными
значениями параметров должны включаться
граничные значения внешних параметров
и
,
задающие область адекватности.
На рисунке дано графическое представление области адекватности и аппроксимирующего ее гиперпараллелепипеда. Такое представление удобно для двумерных случаев.
Возможно использование и других аппроксимаций ОА, например областей с линеаризованными границами в виде гиперплоскостей, областей в форме гиперсфер и т.п.
Экономичность (вычислительная эффективность) определяется затратами ресурсов, требуемых для реализации модели. Поскольку в САПР используются математические модели, далее речь пойдет о характеристиках именно математических моделей, и экономичность будет характеризоваться затратами машинных времени и памяти.
Аналогичные требования по точности и экономичности фигурируют при выборе численных методов решения уравнений модели.