3. Использование критерия Лапласа при неизвестных вероятностях выбора природой своих стратегий
Определим для каждой стратегии
игрока А значение показателя для
определения оптимальной стратегии.
Этим показателем по критерию Лапласа
будет средний выигрыш
=
,
=1,2,…,
.
Тогда стратегия
игрока
А будет оптимальной, при которой
достигается максимум среднего выигрыша
:
=
.
Рассмотрим пример выбора оптимальной стратегии игрока А по критерию Лапласа при неизвестных вероятностях природы.
Пример 1. Задана платёжная
матрица
=
,
определяющая выигрыши игрока А в игре
с природой. По критерию Лапласа определить
оптимальную стратегию игрока А, при
которой он получит максимальный выигрыш,
Решение. Платёжную матрицу представим таблицей, в которой в последнем столбце определим средние выигрыша игрока А по каждой из своих стратегий, а также максимальный выигрыш (табл. 1).
Таблица 1
Расчёт оптимальной стратегии выбора максимального выигрыша по критерию Лапласа с неопределёнными вероятностями выбора стратегий природой
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Средний выигрыш |
А1 |
17 |
20 |
13 |
23 |
18,25 |
А2 |
22 |
14 |
19 |
12 |
16,75 |
А3 |
12 |
24 |
16 |
14 |
16,5 |
А4 |
21 |
10 |
20 |
11 |
15,75 |
А5 |
15 |
18 |
17 |
21 |
17,75 |
Максимальный средний выигрыш |
18,25 |
||||
Определяем средние выигрыши
игрока по каждой стратегии:
=
=
=
=18,25;
=
=
=16,75;
=
=
=16,5;
=
=
=
15,75;
=
=
=
17,75. Оптимальной стратегией будет
стратегия А1
с наибольшим средним выигрышем 18,25.
Ответ:
=
;
=18,25.
Когда платёжная матрица
определяет проигрыши игрока А и целью
игрока становится достижение наименьшего
проигрыша, то оптимальной стратегией
будет стратегия, при которой достигается
минимум среднего выигрыша
:
=
.
Пример 2. Задана платёжная матрица = , определяющая проигрыши игрока А в игре с природой. По критерию Лапласа определить оптимальную стратегию игрока А, при которой он получит минимальный выигрыш,
Решение. Как и в первом примере строим таблицу (табл. 2). В последней строке записываем минимальный проигрыш.
Таблица 2
Расчёт оптимальной стратегии выбора минимального выигрыша по критерию Лапласа с неопределёнными вероятностями выбора стратегий природой
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
Средний выигрыш |
А1 |
17 |
20 |
13 |
23 |
18,25 |
А2 |
22 |
14 |
19 |
12 |
16,75 |
А3 |
12 |
24 |
16 |
14 |
16,5 |
А4 |
21 |
10 |
20 |
11 |
15,75 |
А5 |
15 |
18 |
17 |
21 |
17,75 |
Максимальный средний выигрыш |
15,75 |
||||
Оптимальной стратегией будет стратегия А4 с наименьшим средним проигрышем 15,75.
Ответ:
=
;
=15,75.