Односторонний предел по Коши
Число
называется правосторонним
пределом (правым
пределом, пределом
справа)
функции 
в
точке
,
если для всякого положительного
числа 
отыщется
отвечающее ему положительное
число 
такое,
что для всех
точек
из интервала 
справедливо неравенство 
.
Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала
справедливо
неравенство
.[1]
29. Теоремы о свойствах функций, имеющих конечный предел.
единственность
Теорема 1. Если функция имеет предел при х, то только один.
Если функция имеет предел при ха, то только один.
ограниченность
Теорема 2. Если функция имеет предел при x, то она ограничена на некотором открытом луче (М, +).
Если функция имеет предел при ха, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а.
Сохранение знака
Теорема (о сохранении знака непрерывной функции, не имеющей нулей) . Если функция f(x) непрерывна на [a; b] и для любого xє(a; b) | f(x) не равно 0, то на (a; b) f(x) сохраняет свой знак. (если функция имеет предел в точке а>0, то функция сохраняет знак в некоторой бесконечно малой окрестности этой точки.)
Арифметические операции
Сравнение
Сравнение бесконечно малых функций
Для определения бесконечно малых и бесконечно больших функций воспользуемся, так называемым сравнением функций. Пусть у нас есть две функции p(x) и q(x), которые стремятся к А при аргументе x стремящемся к А. И будем рассматривать предел их отношения при аргументе x, стремящемся к некоторому числу A. Тогда возможны следующие варианты:
1) 
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен нулю, в этом случае говорят,
что p(x) бесконечно
малая функция более
высокого порядка и принято обозначать
p(x) = o(q(x)).
2) 
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен С - некоторой константе, в
этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно
малые функции одного порядка и принято
обозначать p(x) = O(q(x)).
3) Если данный предел: не существует, в этом случае мы ничего не можем сказать о сравниваемых функциях и поэтому говорят, что функции не сравнимы.
4) 
,
т.е. предел отношения функций существует
и он равен бесконечности, в этом случае
говорят, что g(x) бесконечно
малая функция более
высокого порядка и принято обозначать
q(x) = o(p(x)).
Сравнение бесконечно больших функций
Также как и в предыдущем пункте будем рассматривать предел отношения двух функций. Только теперь у нас функции стремятся к бесконечности при аргументе x, стремящемся к А. Возможны следующие варианты:
1) , т.е. предел отношения функций существует и равен бесконечности. В этом случае говорят, что p(x) бесконечно большая функция более высокого порядка.
2) , т.е. предел отношения функций существует и равен С - некоторой константе. В этом случае говорят, что p(x) и q(x) бесконечно большие функции одного порядка.