Примеры

• Вещественные функции синус и косинус являются периодическими с основным периодом   , так как

• Функция, равная константе  , является периодической, и любое ненулевое число является её периодом. Основного периода функция не имеет.

• Функция Дирихле является периодической, её периодом является любое ненулевое рациональное число. Основного периода она также не имеет.

• Функция   является апериодической.

17. Монотонные функции. Определение. Примеры

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное[1]. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Примеры

• Функция   строго возрастает на всей числовой прямой, несмотря на то, что точка   является стационарной, т.е. в этой точке  .

• Функция   является строго возрастающей не только на открытом интервале  , но и на замкнутом интервале  .

• Экспонента   строго возрастает на всей числовой прямой.

• Константа   одновременно не возрастает и не убывает на всей числовой прямой.

• Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.

• Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.

18. Супремум (sup) и инфимум (inf) функции. Определения. Примеры.

Существенный супремум   функции   — это наименьшее число   такое, что

почти всюду. Другими словами,

где   — мера на множестве  . Аналогичным образом определяется существенный инфимум:

Примеры :

Пусть на прямой задана мера Лебега и соответствующая σ-алгебра Σ. Определим функцию f следующим образом

Супремум данной функции есть число 5, а инфимум есть −4. Однако функция f принимает эти значения только на множествах нулевой меры {1} и {−1} соответственно. Таким образом, почти всюду (по мере Лебега) данная функция равна 2, откуда вытекает, что существенный супремум и существенный инфимум fсовпадают и равны 2.

В качестве другого примера возьмём функцию

где Q обозначает множество рациональных чисел. Данная функция неограничена как сверху, так и снизу, поэтому её супремум и инфимум равны ∞ и −∞ соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега, множество рациональных чисел имеет меру нуль; для функционального анализа значение имеет то, что происходит на дополнении этого множества, где функция совпадает с arctgx. Следовательно, существенный супремум в данном случае есть π/2, а существенный инфимум есть -π/2.

Наконец, положим функцию f(x) = x³ определённой для всех вещественных x. Её существенный супремум есть +∞, а существенный инфимум −∞.

19. Понятие сложной функции. Определение. Примеры.

Сложная функция – функция от функции. Если z – функция от у, т.е. z(y), а у, в свою очередь, – функция от х, т.е. у(х), то функция f(x) = z(y(x)) называется сложной функцией (или композицией, или суперпозицией функций) от х.

В такой функции х – независимая, а у – промежуточная переменная. При этом сложная функция определена для тех значений независимой переменной, для которых значения промежуточной функции у входят в область определения функцииz(y).

Пример

 y = ln x².

Решение.

       INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/5der71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/5der71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/5der71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/5der71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/5der71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/5der71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/5der71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://www.math24.ru/images/5der71.gif" \* MERGEFORMATINET

20. Понятие обратной функции. Определение. Примеры.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x. Обратная функция функции   обычно обозначается  , иногда также используется обозначение  .

Пример:

  INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-7c1cf2327296c3f43ab9669fe4b9fd83.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-7c1cf2327296c3f43ab9669fe4b9fd83.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-7c1cf2327296c3f43ab9669fe4b9fd83.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-7c1cf2327296c3f43ab9669fe4b9fd83.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-7c1cf2327296c3f43ab9669fe4b9fd83.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-7c1cf2327296c3f43ab9669fe4b9fd83.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-7c1cf2327296c3f43ab9669fe4b9fd83.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-7c1cf2327296c3f43ab9669fe4b9fd83.gif" \* MERGEFORMATINET .

Выяснить, обратима ли эта функция, и если обратима, то найти обратную.

INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-80a66d2a5b8d7d700ef232b05feef916.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-80a66d2a5b8d7d700ef232b05feef916.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-80a66d2a5b8d7d700ef232b05feef916.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-80a66d2a5b8d7d700ef232b05feef916.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-80a66d2a5b8d7d700ef232b05feef916.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-80a66d2a5b8d7d700ef232b05feef916.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-80a66d2a5b8d7d700ef232b05feef916.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-80a66d2a5b8d7d700ef232b05feef916.gif" \* MERGEFORMATINET

Функция  INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-8fa14cdd754f91cc6554c9e71929cce7.gif" \* MERGEFORMATINET  обратима,  INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-87567e37a1fe699fe1c5d3a79325da6f.gif" \* MERGEFORMATINET  — обратная функция.