Необходимый признак сходимости ряда

Ряд     может сходиться лишь в том случае, когда член   (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

74. Признаки сходимости числовых рядов.

Первый, второй и третий признаки сравнения.

Первый признак сравнения рядов.

Пусть   и   - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство   для всех k = 1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда   следует сходимость  , а из расходимости ряда   следует расходимость  .

Второй признак сравнения.

Пусть   и   - знакоположительные числовые ряды. Если  , то из сходимости ряда   следует сходимость  . Если  , то из расходимости числового ряда  следует расходимость  .

Следствие.

Если   и  , то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость.

Исследуем ряд   на сходимость с помощью второго признака сравнения. В качестве ряда   возьмем сходящийся ряд  . Найдем предел отношения k-ых членов числовых рядов:

Таким образом, по второму признаку сравнения из сходимости числового ряда   следует сходимость исходного ряда.

Третий признак сравнения.

Пусть   и   - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера Nвыполняется условие  , то из сходимости ряда   следует сходимость  , а из расходимости ряда   следует расходимость  .

Признак Даламбера.

Пусть   - знакоположительный числовой ряд. Если  , то числовой ряд сходится, если  , то ряд расходится.

Замечание.

Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если  , то ряд сходится, если  , то ряд расходится.

Если  , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование.

75. Функциональные ряды. Определение.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция  .

76. Степенные ряды. Определение. Интервал и радиус сходимости.

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x₀ − действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию  . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. 

Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

77. Ряд Тейлора и ряд Маклорена. Примеры.

Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена







Разложить в ряд Тейлора функцию   в точке x = 1.

Решение.

Вычислим производные:

      

Видно, что   для всех n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:

      

Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид

      

78. Ряды фурье. Определения. Примеры.

Ряд Фурье — в математике — способ представления произвольной сложной функции суммой более простых. В общем случае количество таких функций может быть бесконечным, при этом чем больше таких функций учитывается при расчете, тем выше оказывается конечная точность представления исходной функции. В большинстве случаев в качестве простейших используются тригонометрические функции синуса и косинуса, в этом случае ряд Фурье называется тригонометрическим, а вычисление такого ряда часто называют разложением на гармоники.