Для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

Данные формулы справедливы, если каждая из функций   и   непрерывно дифференцируемы на области интегрирования.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть  - две функции, непрерывные со своими первыми производными на сегменте [а, b]

Возьмем дифференциал от их произведения: 

Интегрируя это тождество в пределах от а до b, получим 

Но по формуле Ньютона—Лейбница

Таким образом, равенство (32) примет следующий вид: 

откуда

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Так как то формулу (33) можно записать в следующем более компактном виде:

При этом следует иметь в виду, что границы интегрирования относятся к независимой переменной 

Замена переменной в интеграле.

Пусть  , тогда

Но в силу инвариантности формы дифференциала равенство  остается справедливым и в случае, когда   — промежуточный аргумент, т.е.  . Это значит, что формула   верна и при  . Таким образом,

, или  .

Итак, если   является первообразной для   на промежутке  , а   — дифференцируемая на промежутке   функция, значения которой принадлежат  , то   — первообразная для  , и, следовательно,

Эта формула позволяет свести вычисление интеграла   к вычислению интеграла  . При этом мы подставляем вместо   переменную  , а вместо   дифференциал этой переменной, т. е.  . Поэтому полученная формула называется формулой замены переменной под знаком неопределенного интеграла. Она используется на практике как "слева направо", так и "справа налево". Метод замены переменной позволяет сводить многие интегралы к табличным. После вычисления интеграла   надо снова заменить   на  .

67. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР  

Пусть функция f (х)  непрерывна на отрезке [a ; b].  Если при этом f (х) ≥ 0 на [a ; b], то  площадь S криволинейной трапеции, ограниченной линиями  ,  выразится с помощью интеграла:     (1) 

Если же f (х) ≤ 0 на [a ; b], то −f (х) ≥ 0 на [a ; b].  Поэтому площадь S соответствующей  криволинейной трапеции находится по формуле    или     (2)  

Наконец, если линия у = f (х) пересекает ось Ох, то отрезок [a ; b] надо разбить на части, в  пределах которых f (х) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул (1) или (2),  которая ей соответствует.  

Пример 1. Найдем площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции у = sin х и осью  абсцисс при условии 0 ≤ х ≤ 2 π .   

Разобьем отрезок [ 0 ; 2π ] на два отрезка: [ 0 ; π ] и [ π ; 2π ].  На первом из них sin х ≥ 0, на втором sin х ≤ 0.  Тогда, используя формулы (1) и (2), находим искомую площадь:      Площадь криволинейного сектора ОАВ ,  ограниченного лучами    и кривой АВ, заданной в полярной системе  координат уравнением  ,  где   — функция, непрерывная на отрезке [ α ; β ], выражается  формулой      (3)  Пример 2. Найдем площадь круга радиуса R.  В полярных координатах r, φ уравнение  окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид 

, причем  .  Тогда, используя  формулу (3), получим   

68. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Пусть известна функция   и требуется найти длину дуги, заданной функцией   , где   .

Для определения длины дуги   необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где   . В этом случае для определения длина дуги   вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах   где  . Тогда для определения длины дуги   вычисляется следующий определенный интеграл:

69. Вычисление площади поверхности вращения.

Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой   вокруг оси   , где   .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую   вокруг оси   , где 

В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

70. Вычисление объемов тел.

Пусть задано тело объемом V, причем имеется такая прямая (рис. 1), что, какую бы плоскость, перпендикулярную этой прямой, мы ни взяли, нам известна площадь S сечения тела этой плоскостью. Но плоскость, перпендикулярная оси Ох, пересекает ее в некоторой точке х. Следовательно, каждому числу х (из отрезка [а; b] см. рис. 1) поставлено в соответствие единственное число S (х) — площадь сечения тела этой плоскостью. Тем самым на отрезке [а; b] задана функция S (х). Если функция S непрерывна на отрезке [а; b] то справедлива формула

 (1)

Полное доказательство этой формулы дается в курсах математического анализа, а здесь остановимся на наглядных соображениях, приводящих к ней. Разобьем отрезок [а; b] на n отрезков равной длины точками x₀ = a <x₁ <x₂ <... <x_n-1 <b=х_n, и пусть

Через каждую точку х_k проведем плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эти плоскости разрезают заданное тело на слои (рис. 2, а, б). Объем слоя, заключенного между плоскостями α_k-1 и α_k, при достаточно больших n приближенно равен площади S(x_k-1) сечения, умноженной на «толщину слоя» Δx, и поэтому

 (1)

Точность этого приближенного равенства тем выше, чем тоньше слои, на которые разрезано тело, т. е. чем больше n. Поэтому V_n →V при n → ∞. По определению интеграла

 при n → ∞.

71. Несобственные интегралы

Несобственные интегралы

Определенный интеграл   называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b]. Бесконечные пределы интегрирования Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом: Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.  В противном случае интегралы расходятся.  Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл   также сходится; в противном случае он расходится.  Теоремы сравнения Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что  для всех x в интервале [a, ∞). Если   сходится, то   также сходится; Если   расходится, то   также расходится; Если   сходится, то   также сходится. В этом случае говорят, что интеграл   является абсолютно сходящимся. Интеграл от разрывной функции Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случаенесобственный интеграл определяется в виде Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.  Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки  . Тогда справедливо соотношение и говорят, что несобственный интеграл   сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

72. Двойной интеграл.

Двойной интеграл в общем виде записывается следующим образом:

Разбираемся в терминах и обозначениях: – значок двойного интеграла;  – область интегрирования (плоская фигура);  – подынтегральная функция двух переменных, часто она довольно простая;  – значки дифференциалов.

73. Числовой ряд. Сходимость. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости.

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Сумма ряда.

Сумма числового ряда   определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится^[1]. Элементы ряда   представляют собойкомплексные числа (в частности, вещественные).