Интегрирование выражений вида

Если m нечётное, m > 0, то удобнее сделать подстановку sin x = t.

Если n нечётное, n > 0, то удобнее сделать подстановку cos x = t.

Если n и m чётные, то удобнее сделать подстановку tg x = t.

Подведение под знак дифференциала]

Данный метод эквивалентен методу замены переменной

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл   Сделаем подстановку   где   — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда   и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Метод разложение числителя

Пример 1

Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку.

Анализируя подынтегральную функцию, мы замечаем, что и в числителе и в знаменателе у нас находятся многочлены первой степени:   и  .

Когда в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковой степени, то помогает следующий искусственный приём: в числителе мы должны самостоятельно организовать такое же выражение, что и в знаменателе:

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

:

65. Определённый интеграл. Определения. Свойства. Геометрическая интерпретация.

Определённый интеграл в наиболее простом определении - площадь под графиком функции на интервале от x = a до x = b. По формуле Ньютона-Лейбница, это разность значений неопределённых интегралов на концах интервала.

Определённый интеграл для функции f(x) на интервале от a до b - это значение первообразной в точке b (F(b)) минус значение первообразной в точке a (F(a)).

записывается это примерно так:

S f(x) dx = F(b) - F(a)

Свойства определенного интеграла

1. Если f (x) интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на отрезке [b,a], причем ∫ b a f (x)dx = ∫ − a b f (x)dx . Заметим еще, что по определению же полагают6 ( ) = 0 ∫ a a f x dx .

2. Если f (x) интегрируема на наибольшем из отрезков [a,b],[a,с] и [с,b], тогда она интегрируема и на двух других, причем имеет место равенство ∫ b a f (x)dx =∫ с a f (x)dx +∫ b с f (x)dx .

3. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a,b], то kf (x) , где k = const также интегрируема и на отрезке [b,a], причем, ∫ b a kf (x)dx = ∫ b a k f (x)dx . Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

4. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b], то функция f (x) ± g(x) также интегрируема и на отрезке [b,a], причем, f x dx g x dx b a ( ( ) ± ( )) ∫ = ± ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx . Т.е. интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме от этих функций. Это свойство остается справедливым и для любого конечного числа слагаемых.

5. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a,b], неотрицательна и a < b , то ( ) ≥ 0 ∫ b a f x dx .

6. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b] и f (x) ≤ g(x) при всех значениях x ∈[a,b], то ∫ b a f (x)dx ∫ ≤ b a g(x)dx , в предположении, что a < b . Т.е. обе части неравенства можно интегрировать.

7. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a,b] и a < b , то функция | f (x) |также интегрируема на этом отрезке и имеет место равенство ∫ b a | | f (x) | dx | ( ) ∫ ≤ b a f x dx .

8. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a,b] и при всех значениях x ∈[a,b] имеет место неравенство m ≤ f (x) ≤ M , то 7 m(b a) f (x)dx M (b a) b a − ≤ ≤ − ∫ , в предположении, что a < b .

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

66. Формула Ньютона-Лейбница. Интегри́рование по частя́м в определенном интеграле. Замена переменной в интеграле.

Формула Ньютона-Лейбница - даёт соотношение между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной. Формула Ньютона-Лейбница - основная формула интегрального исчисления.

Данная формула верна для любой функции f(x), непрерывной на отрезке [а, b], F - первообразная для f(x). Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f(x) , вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F(b) – F(a).

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для определённого: