3. Частные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение  . Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается   и определяется формулой  .

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение  , то z получает частное приращение z по y, .

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения  по x к приращению  при стремлении   к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов .

Аналогично определяется частная производная по y:

                                  .

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример. Найти частные производные функции z=x²e ^x-2y.

Решение.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

2. 2. Полное приращение и полный дифференциал

 

Пусть Р(х, у) и Р₁(х₁, у₁) –  точки области D, в которой задана функция              z = f(x, y). Найдем изменение функции при переходе из точки Р в точку Р₁.Разность значений функции в точках Р и Р₁ называется полным приращением  функции z = f(x, y)  в точке Р и обозначается z(x, y) или f(P):

 

z(x,y) = f(P) = f(P₁)  f(P) = f(x₁, y₁)  f(x,y).

 

Обозначим приращение аргументов х и у при переходе  из точки Р в точку Р₁ через х и у:  х = х₁  х,  у = у₁  у.  Следовательно,

 

z(x,y) = f(x + x, y + y)  f(x,y).

 

Геометрически эта разность дает приращение аппликаты графика функции    z = f(x, y) при переходе из точки Р в точку Р₁. Используя понятие полного приращения функции, можно дать определение непрерывности функции в точке, равносильное данному ранее определению 6.

 

Теорема 1

Для того, чтобы функция z = f(x, y) была непрерывна в точке          Р₀(х₀,у₀), необходимо и достаточно, чтобы полное приращение функции z(P₀)стремилось к нулю при  x и y, стремящихся к нулю.

 

Определение 2

Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке Р(х, у), если ее полное приращение z(Р) можно представить в виде :           

                    z(Р) = Аx + Вy + ,                                                             (3)                         

 

где  А и В не зависят от x и y, а  =  (х, у, x, y) - бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем  =   при        .

 

Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции представимо в виде двух слагаемых, одно из них (Аx + Вy) линейно зависит от  x и y, а другое ( ) –  мало по сравнению с  (о) при   . Отметим, что  равно расстоянию между точками Р₁ и  Р , поэтому условие    (x  и у одновременно) равносильно условию Р₁  Р .

Слагаемое Аx + Вy  в (3) при    составляет главную часть полного приращения функции и, как отмечалось выше, линейно зависит от  x, y. ВыражениеАx+Вy называется полным дифференциалом функции    z = f(x, y) и обозначается dz или df(x, y). В случае  =  полагают dz = 0.

 

Определение 3

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно  x и y, т. е.

 

                                       df(x, y) = Аx + Вy.

 

Из равенства (3) и теоремы 1 следует, что всякая дифференцируемая функция непрерывна.

Кроме того, из условия дифференцируемости функции в точке следует, что в данной точке существует полный дифференциал. Следующая теорема устанавливает связь между понятием дифференцируемости (дифференциалом) и частными производными.

 

Теорема 2

Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке Р(х, у), то в этой точке существуют частные производные z_x , z_y и справедливо равенство : 

                                 dz(x, y) = z_x x + z_y y .                                        (4)     

 

Отметим, что, в отличие от функции одной переменной, обратная теорема неверна: из существования частных производных еще не следует дифференцируемость функции. Однако если предположить, что частные  производные не только существуют, но и непрерывны, то функция будет дифференцируемой. Справедлива следующая теорема.

 

Теорема 3

Если функция z = f(x, y) имеет частные производные в некоторой окрестности точки Р(х, у), которые непрерывны в точке Р(х, у), то полное приращение представимо в следующем виде:

f(Р) = f _x x + f _y y + x + y,

 где  и  стремятся к нулю при х   и у  .

 

Легко показать, что    х   у =  ( ), следовательно, теорема 3 дает достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

Приращения х и у независимых переменных х и у функции  z = f(x, y) (как и в случае функции одной перерменной) будем называть их дифференциалами обозначать dx и dу, соответственно. Тогда согласно формуле (4) выражение полного дифференциала примет вид:

                   dz = f _x dx + f _y dy  или  dz =  dx +   dy.                         (5)     

В отличие от полного дифференциала функции z = f(x, y) выражения           d_xz =  dx  и d_yz = dy  называют частными дифференциалами этой функции.

Предыдущие рассуждения и определения соответствующим образом обобщаются на функции любого конечного числа переменных. Например, полный дифференциал функции f(х₁, х₂, ..., х_n) определяется равенством:

df(х₁, х₂, ..., х_n) =  dх₁ +   dх₂ + ... +  dх_n,

 

т. е.  равен сумме частных дифференциалов по всем переменным.

Все известные правила нахождения дифференциалов остаются справедливыми для функций нескольких переменных. В частности, для любых дифференцируемых функций u = u(P) и v = v(P) и константы с справедливы следующие формулы:

 

dc = 0;  d (u + v) = du + dv;  d(u v) = v du + u dv;

 

d(cu) = c du; d(u/v) = (v du - u dv) / v² .

 

 

62. Неопределенный интеграл. Определение. Свойства.

Неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции ƒ(х) найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F(x), зная ее производную F'(x) = ƒ(х) (или дифференциал). Искомую функцию F(x) называют первообразной функции ƒ(х). Функция F(x) называется первообразной функции ƒ(х) на интервале (а;b), если для любого х є (а;b) выполняется равенство F'(x)=ƒ(x) (или dF(x)=ƒ(x)dx). Tеоpeмa:Если функция F(x) является первообразной функции ƒ(х) на (а;b), то множество всех первообразных для ƒ(х) задается формулой F(x)+С, где С - постоянное число. Множество всех пepвoобpaзныx функций F(x)+С для ƒ(х) называется неопределенным интегралом от функции ƒ(х) и обозначается символом ∫ ƒ(х) dx. Таким образом, по определению ∫ ƒ(x) dx = F(x)+C. Здесь ƒ(х) называется подынтегральнoй функцией, ƒ(x)dx — подынтегральным выражением, х - переменной интегрирования, ∫ - знаком неопределенного интеграла. Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых у=F(x)+C (каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

Свойства неопределенного интеграла 1) Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: d( ∫ ƒ(x)dx ) = ƒ(x)dх, ( ∫ ƒ(x)dx )' = ƒ(х) 2) Hеопpедeлeнный интеграл от диффepeнциaла некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: ∫ dF(x)= F(x)+C  Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. ∫ с•ƒ(x)dx = с • ∫ ƒ(x)dx 4) Неопределенный интеграл от суммы нескольких непрерывных функций равен сумме интегралов этих функций. ∫ [ ƒ(x)+g(x) ] dx=∫ ƒ(x)dx + ∫ g(x)dx

63.

Таблица основных интегралов

64.

Пусть функции u (x) и v (x) имеют непрерывные на D производные. Тогда 

Функция uv имеет непрерывную производную на D, и   Интегрируя обе части этого равенства, получим   Относя константу интегрирования к интегралу   получаем доказываемую формулу.

Эта формула описывает метод интегрирования по частям. Она сводит вычисление интеграла   к вычислению интеграла