Производные высших порядков

Если функция   имеет производную в каждой точке   своей области определения, то ее производная   есть функция от  . Функция  , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции   (или второй производной) и обозначают символом  . Таким образом

производная  -го порядка функции   есть первая производная от производной  -го порядка этой функции:

………………………………………………………………………………………………………….

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,

f"(x) = (f'(x))'.

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f⁽ⁿ⁾. Итак,

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))',   n ϵ N,   f⁽⁰⁾(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ. Производные n-го порядка от основных элементарных функций

Справедливы формулы

Формула Лейбница

Если u и v - n-кратно дифференцируемые функции, то

Производные n-го порядка вектор-функции, комплекснозначной и матричной функций

Если компоненты   n-кратно дифференцируемы, то  .

Аналогично для комплекснозначной функции f и матричной функции A имеем формулы:

f⁽ⁿ⁾(x) = u⁽ⁿ⁾(x) + iv⁽ⁿ⁾(x);   dⁿf(x) = dⁿu(x) + idⁿv(x);

57. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя. Примеры.

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

(Здесь   — бесконечно малая величина, а   — бесконечно большая величина)

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Правило Лопиталя

теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Теорема Лопиталя:

Если:

1.  или  ;

2.  и   дифференцируемы в окрестности  ;

3.  в окрестности  ;

4. существует  ,

то существует  .

Пределы также могут быть односторонними.

Примеры

• 

• Здесь можно применить правило Лопиталя 3 раза, а можно поступить иначе. Нужно разделить и числитель, и знаменатель на x в наибольшей степени(в нашем случае  ). В этом примере получается:

•  — применение правила   раз;

•  при  .

58. Признаки монотонности функции

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю то функция называется стро́го моното́нной.

Признак монотонности функции

Промежутки монотонности функции совпадают с промежутками постоянного знака ее производной.

Доказательство. Будем понимать заданную функцию  у = f(x)  как закон движения материальной точки  Р  по оси  у  в зависимости от времени  х.  Пусть на некотором промежутке функция  f  возрастает. На языке механики это означает, что материальная точка  Р  движется по оси  у  в положительном направлении. Так как знак скорости совпадает с направлением движения, то скорость точки, т. е. производная функции положительна. Обратно: если производная, т. е. скорость точки, положительна, то точка движется по оси  у  в положительном направлении, следовательно, функция возрастает. Аналогично рассматривается случай убывания функции.

Замечание. Если точка движется в одном направлении, то ее скорость сохраняет постоянный знак, однако в отдельные моменты времени точка может остановиться (ее скорость обратится в нуль), а затем продолжать двигаться в том же направлении. Функция, описывающая такое движение точки, будет монотонной. Значит, если f(x) возрастает,то f'(x) > 0. Верно и обрат­ное. Однако если  f'(x)  обращается в нуль не в отдельных точках, а на целом промежутке, то на этом промежутке функция будет постоянной. Если включить промежутки постоянства функции в промежутки ее монотонности (как иногда говорят, не требовать строгой монотонности функции), то можно коротко результат исследования записать так:

Пусть дана функция   Тогда

• функция   называется возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го возраста́ющей на  , если

.

• функция   называется убыва́ющей на  , если

.

• функция   называется стро́го убыва́ющей на  , если

.

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

59. Экстремумы функций

Определение 1. Точка   называется точкой максимума [точкой минимума] функции  , если существует такая  - окрестность   точки  , что для всех значений   из этой окрестности выполняется неравенство    .

Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называетсямаксимумом (минимумом) функции  .

Определение 3. Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума функции  , а значения функции в этих точках — экстремумами функции  .

Теорема 1. Если функция   непрерывна в точке  , а   на промежутке   и   на промежутке  , то   является точкой максимума функции  .

Теорема 2. Если функция   непрерывна в точке  , а   на промежутке   и   на промежутке  , то   — точка минимума функции  .

Теорема 3 (Ферма). Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки   и дифференцируема в этой точке. Если   — точка экстремума функции  , то  .

Теорема 4. Пусть функция   дифференцируема в некоторой окрестности точки  , кроме, быть может, самой точки  , и непрерывна в точке  . Тогда, если   меняет знак с « » на « » (с « » на « ») при переходе через точку  , то   — точка минимума (точка максимума) функции  .

Определение

Точка   называется точкой локального максимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности выполняется неравенство:  .

Точка   называется точкой локального минимума функции  , если существует такая окрестность этой точки, что для всех   из этой окрестности  .

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка   называется точкой строгого локального максимума функции  , если для всех   из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство  .

Точка   называется точкой строгого локального минимума функции  , если для всех   из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство  .

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называетсяглобальным экстремумом.

60. Исследование функции и построение ее графика.

1.10 Общая схема исследования функции и построения графика

1) Найти область определения функции.

2) Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.

3) Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых ƒ(х) > 0 или ƒ(х) < 0).

4) Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

5) Найти асимптоты графика функции.

6) Найти интервалы монотонности функции.

7) Найти экстремумы функции.

8) Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции. На основании проведенного исследования построить график функции.

При построении графика функции необходимо провести ее предварительное исследование. Примерная схема исследования функции с целью построения ее графика имеет следующую структуру:

1. Область определения   и область допустимых значений   функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения с осями.

4. Асимптоты функции.

5. Экстремумы и интервалы монотонности.

6. Точки перегиба и промежутки выпуклости, вогнутости.

7. Сводная таблица.

61. Функции нескольких переменных: непрерывность, частные производные, полное приращение, полный дифференциал.

Функции нескольких переменных.