51. Геометрический и Механический смысл производной

Производной ф-и f в точке х0 наз-ся число, к которому стремится разностное отн-е df/dx=(f(x0+dx)-f(x0))/dx,dx->0.

Геометрический смысл производной

Производная функции  , вычисленная при заданном значении  , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси   и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой  :

1. Геометрический смысл производной: производная в т. х0 равна угловому коэф-ту касательной к графику ф-и y=f(x) в этой точке f'(x0)=k.

2. Механический смысл производной: производная от координаты по времени есть скорость v(t)=x'(t).

(скорость это производная по расстоянию, ускорение производная по скорости и вторая производна по расстоянию)

4) Урав-е касательной: y-y0=y'(x0)*(x-x0).

52. Дифферинцируемость функции. Дифференциал.

Дифференциалом функции называется линейная относительно  часть приращения функции. Она обозначается как   или  . Таким образом:

53. Правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

При дифференцировании константу можно выносить за производную:    Правило дифференцирования суммы функций:    Правило дифференцирования разности функций:    Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):    Правило дифференцирования частного функций:    Правило дифференцирования функции в степени другой функции:    Правило дифференцирования сложной функции:    Правило логарифма при дифференцировании функции:   

54. Таблица производных

55. Производные неявно заданных функций и функций, заданных параметрически.

Производные неявно заданных функций

Если независимая переменная   и функция   связаны уравнением вида  , которое не разрешено относительно  , то функция   называется неявной функцией переменной  .

Пример

Всякую явно заданную функцию   можно записать в неявном виде  . Обратно сделать не всегда возможно.

Несмотря на то, что уравнение   не разрешимо относительно  , оказывается возможным найти производную от   по  . В этом случае необходимо продифференцировать обе части заданного уравнения, рассматривая функцию  как функцию от  , а затем из полученного уравнения найти производную  .

Производные параметрически заданных функций

Предположим, что функциональная зависимость   от   не задана непосредственно  , а через промежуточную величину —  . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция   задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции   и   определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра  . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что  , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной   выполним следующие преобразования:

56. Производные и дифференциалы высших порядков