Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Пример 1. Найти приращение аргумента ∆х и приращение функции ∆f в точке х0, если f(х) = х², x0=2  a) x=1.9 b) x =2.1

Воспользуемся формулами, приведенными выше:

a) ∆х=х-х0 = 1.9 – 2 = -0.1;

• ∆f=f(1.9) – f(2) = 1.9² – 2² = -0.39;

b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

• ∆f=f(2.1) – f(2) = 2.1² – 2² = 0.41.

Пример 2. Вычислить приращение ∆f для функции f(x) = 1/x в точке х0, если приращение аргумента равняется ∆х.

Опять же, воспользуемся формулами, полученными выше.

• ∆f = f(x0 + ∆x) – f(x0) =1/(x0-∆x) – 1/x0 = (x0 – (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x)) = -∆x/((x0*(x0+∆x)).

47. Свойства функций, непрерывных в точке.

• Если функция   непрерывна в точке  , то она ограниченна в некоторой окрестности этой точки :   

• Если функция   непрерывна в точке   и   0, то в некоторой окрестности точки   знак функции совпадает со знаком числа  :

• Если   и   непрерывны в точке  , то функции :  непрерывны в точке  .

• Если   непрерывна в точке  , а   , непрерывна в точке   причем   , то в некоторой окрестности   определена сложная функция равная   которая также непрерывна в точке  : Композиция непрерывных функций также является непрерывной.

48. Разрывы функций. Типы разрывов.

Точка  , в которой нарушено хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, а именно:

1. функция   определена в точке и ее окрестности;

2. существует конечный предел функции   в точке  ;

3. это предел равен значению функции в точке  , т.е. 

называется точкой разрыва функции.

Пример

Функция   не определена в точке  , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Типы разрывов

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке   существуют конечные пределы   и  , такие, что  , то точка   называется точкой разрыва первого рода.

Пример

Функция   в точке   имеет разрыв первого рода, так как

, а 

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов   или   не существует или равен бесконечности, то точка  называется точкой разрыва второго рода.

Пример

Для функции   точка   - точка разрыва второго рода, так как   .

Точка устранимого разрыва

Определение

Если существуют левый и правый пределы функции в точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции   в точке  :   или функция   не определена в точке  , то точка   называется точкой устранимого разрыва.

Пример

Рассмотрим функцию   . Найдем односторонние пределы и значение функции в точке  :

Так как   и не равны значению функции в точке, то точка   - точка устранимого разрыва.

49. Свойства функций непрерывных на отрезке:

1. Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке свои наибольшее и наименьшее значения.

2. Непрерывная на отрезке   функция является ограниченной на этом отрезке.

3. Теорема Больцано-Коши. Если функция   является непрерывной на отрезке   и принимает на концах этого отрезка неравные между собой значения, то есть  ,  , то на этом отрезке функция принимает и все промежуточные значения между   и   .

4. Если функция  , которая непрерывна на некотором отрезке  , принимает на концах отрезка значения разных знаков, то существует такая точка   такая, что   .

50. Производная функции в точке. Определения.

Определение приращения аргумента

Приращением аргумента функции называется разность между значением аргумента в точке и любой другой точке из некоторой окрестности точки .

Определение приращения функции

Приращением функции , соответствующим приращению аргумента в точке называется разность между значением функции в точке и в точке .

Определение производной функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Предел отношения приращения функции в этой точке (если он существует) к приращению аргумента, когда , называется производной функции в точке . Обозначается производная в точке одним из следующих способов: , или , или , . Таким образом, .