1. Множества. Операции с множествами.

Множество – совокупность каких-либо элементов, обладающих общим д/них характеристическим свойством. (A, B, C..- множества; a, b, c..- элементы множества)

Объедине́ние мно́жеств (тж. су́мма или соедине́ние) в теории множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Объединение двух множеств   и   обычно обозначается  , но иногда можно встретить запись в виде суммы  .

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам.

Разность двух множеств — это теоретико-множественная операция, результатом которой является множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. Обычно разность множеств   и   обозначается как  , но иногда можно встретить обозначение   и  .

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсума  , то определяется операция дополнения:

2. Свойства операций с множествами.

Коммуникативность, ассоциативность, дистрибутивность (вверх-пересеч, вниз-объедин)

3. Логические операции

Пусть имеется два утверждения , каждое из которых может быть охарактеризовано как Истина (True) или Ложь (False). Истину обычно обозначают 1, а Ложь — 0. Определим следующие логические операции, называемые также Булевы операции :

• Отрицание (НЕ, NOT) , обозначается чертой сверху. Правила проведения отрицания даны в таблице:

  	0	1
  	1	0

• Логическое умножение или конъюнкция  (И, AND), обозначается знаком умножения  . Правила конъюнкции даны в таблице:

  	0	0	1	1
  	0	1	0	1
  	0	0	0	1

• Логическое сложение или дизъюнкция  (ИЛИ, OR), обозначается знаком сложения  . Правила дизъюнкции даны в таблице:

  	0	0	1	1
  	0	1	0	1
  	0	1	1	1

• Сложение по модулю два  (Исключающее ИЛИ, XOR), обозначается знаком  . Правила операции даны в таблице:

	0	0	1	1
	0	1	0	1
	0	1	1	0

4. Множество вещественных чисел  .

Основные свойства множества R.

Множествовещественных чисел обозначается   и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа строятся на базисе более простых объектов таких, как целые и рациональные числа. Свойства вещественных чисел являются важнейшим объектом изучения математического анализа. (совокупность)

Основные свойства множества R.

• Упорядоченность

Для любых () х1, х2  R справедливо одно из трех утверждений:

Х1  х2; х1  х2; х1 = х2

• Плотность

Для любых чисел () х1, х2  R таких, что Х1  х2 всегда существует третье число х, такое, что х1  х  х2

• Неограниченность

Для любого положительного числа а существует число х, которое больше, чем а (ха)

• Непрерывность

Х  R; YR

Для любых чисел х  Х, у  У таких, что х≤у найдется или существует 1 или большее число С хсу

5. Модуль вещественного числа. Определение.

Определение. Модуль вещественного числа  INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET  — это само число  INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.gif" \* MERGEFORMATINET , если  INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-2f27d94fa6e82715367b43e2bf5dee71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-2f27d94fa6e82715367b43e2bf5dee71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-2f27d94fa6e82715367b43e2bf5dee71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-2f27d94fa6e82715367b43e2bf5dee71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-2f27d94fa6e82715367b43e2bf5dee71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-2f27d94fa6e82715367b43e2bf5dee71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-2f27d94fa6e82715367b43e2bf5dee71.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-2f27d94fa6e82715367b43e2bf5dee71.gif" \* MERGEFORMATINET , и противоположное число  INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-37caf0ee262229a9ddc60877eec6883f.gif" \* MERGEFORMATINET , если  INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-b6a9d232b5edadb6569d8ab9eab1cda9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-b6a9d232b5edadb6569d8ab9eab1cda9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-b6a9d232b5edadb6569d8ab9eab1cda9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-b6a9d232b5edadb6569d8ab9eab1cda9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-b6a9d232b5edadb6569d8ab9eab1cda9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-b6a9d232b5edadb6569d8ab9eab1cda9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-b6a9d232b5edadb6569d8ab9eab1cda9.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-b6a9d232b5edadb6569d8ab9eab1cda9.gif" \* MERGEFORMATINET .

INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-bbf79d07cb2b1af6caa84bd9a8ddba25.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-bbf79d07cb2b1af6caa84bd9a8ddba25.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-bbf79d07cb2b1af6caa84bd9a8ddba25.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-bbf79d07cb2b1af6caa84bd9a8ddba25.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-bbf79d07cb2b1af6caa84bd9a8ddba25.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-bbf79d07cb2b1af6caa84bd9a8ddba25.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-bbf79d07cb2b1af6caa84bd9a8ddba25.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-bbf79d07cb2b1af6caa84bd9a8ddba25.gif" \* MERGEFORMATINET

6. Свойства модуля вещественного числа

• х+у ≤ х + у

• х-у ≥ х - у

• х *у = х * у

• х/у ≥ х / у при у≠0

• INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-ca86a69998493199bec66915269ec9b0.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-ca86a69998493199bec66915269ec9b0.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-ca86a69998493199bec66915269ec9b0.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-ca86a69998493199bec66915269ec9b0.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-ca86a69998493199bec66915269ec9b0.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-ca86a69998493199bec66915269ec9b0.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-ca86a69998493199bec66915269ec9b0.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-ca86a69998493199bec66915269ec9b0.gif" \* MERGEFORMATINET

• INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-76713b8712d4b20f85a5a8e9d81c8d72.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-76713b8712d4b20f85a5a8e9d81c8d72.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-76713b8712d4b20f85a5a8e9d81c8d72.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-76713b8712d4b20f85a5a8e9d81c8d72.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-76713b8712d4b20f85a5a8e9d81c8d72.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-76713b8712d4b20f85a5a8e9d81c8d72.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-76713b8712d4b20f85a5a8e9d81c8d72.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://hijos.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex-76713b8712d4b20f85a5a8e9d81c8d72.gif" \* MERGEFORMATINET

7. Промежутки. Определения. Примеры.

Промежуток, или более точно, промежуток числовой прямой — множество вещественных чисел, обладающее тем свойством, что вместе с любыми двумя числами содержит любое, лежащее между ними. С использованием логических символов, это определение можно записать так:  INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/8/e/3/8e32a7ada8074adf518e9cb52894c1b4.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/8/e/3/8e32a7ada8074adf518e9cb52894c1b4.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/8/e/3/8e32a7ada8074adf518e9cb52894c1b4.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/8/e/3/8e32a7ada8074adf518e9cb52894c1b4.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/8/e/3/8e32a7ada8074adf518e9cb52894c1b4.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/8/e/3/8e32a7ada8074adf518e9cb52894c1b4.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/8/e/3/8e32a7ada8074adf518e9cb52894c1b4.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/8/e/3/8e32a7ada8074adf518e9cb52894c1b4.png" \* MERGEFORMATINET  — промежуток, если

INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16cd9b541736cdb148142f9427be0ae.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16cd9b541736cdb148142f9427be0ae.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16cd9b541736cdb148142f9427be0ae.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16cd9b541736cdb148142f9427be0ae.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16cd9b541736cdb148142f9427be0ae.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16cd9b541736cdb148142f9427be0ae.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16cd9b541736cdb148142f9427be0ae.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/f/1/6/f16cd9b541736cdb148142f9427be0ae.png" \* MERGEFORMATINET

В качестве примеров промежутков можно привести следующие множества:

INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c959fea751bdb79040efdead9736f56.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c959fea751bdb79040efdead9736f56.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c959fea751bdb79040efdead9736f56.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c959fea751bdb79040efdead9736f56.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c959fea751bdb79040efdead9736f56.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c959fea751bdb79040efdead9736f56.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c959fea751bdb79040efdead9736f56.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/6/c/9/6c959fea751bdb79040efdead9736f56.png" \* MERGEFORMATINET

Типы промежутков

Конечный промежуток состоит из множества чисел, заключенных между двумя числами   и   — концами промежутка, которые сами могут быть включены в его состав, или нет^[1].

Если  , то промежуток   называется отрезком, и обозначается  :

В случае   отрезок состоит из одной точки.

Если  , то промежуток   называется интервалом, и обозначается  :

Промежутки

называются полуинтервалами.

Длиной промежутка во всех случаях называется число  .

Бесконечные промежутки

не ограничены либо сверху, либо снизу каким-либо вещественным числом. В этом случае удобно считать, что у этих промежутков одним из концов, или обоими служат несобственные числа  , полагая, что для любого вещественного числа   справедливы неравенства  . Обозначения и наименования бесконечных промежутков аналогичны таковым для конечных промежутков. Например, выписанные выше бесконечные промежутки обозначаются соответственно

Пустое множество   также является промежутком.

8. Окрестности. Определения. Примеры.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Пусть   произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки   на числовой прямой (иногда говорят  -окрестностью) называется множество точек, удаленных от   менее чем на  , то есть  .

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый  -шар с центром в точке  .

В банаховом пространстве   окрестностью с центром в точке   называют множество  .

В метрическом пространстве   окрестностью с центром в точке   называют множество  .

Пример: Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда  INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/9/e/a9e1fb8ae8dc8d31a945647937f0fa6d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/9/e/a9e1fb8ae8dc8d31a945647937f0fa6d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/9/e/a9e1fb8ae8dc8d31a945647937f0fa6d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/9/e/a9e1fb8ae8dc8d31a945647937f0fa6d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/9/e/a9e1fb8ae8dc8d31a945647937f0fa6d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/9/e/a9e1fb8ae8dc8d31a945647937f0fa6d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/9/e/a9e1fb8ae8dc8d31a945647937f0fa6d.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/a/9/e/a9e1fb8ae8dc8d31a945647937f0fa6d.png" \* MERGEFORMATINET  является открытой окрестностью, а  INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/3/9/939b17134a44bb821e6c01efd044b32e.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/3/9/939b17134a44bb821e6c01efd044b32e.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/3/9/939b17134a44bb821e6c01efd044b32e.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/3/9/939b17134a44bb821e6c01efd044b32e.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/3/9/939b17134a44bb821e6c01efd044b32e.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/3/9/939b17134a44bb821e6c01efd044b32e.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/3/9/939b17134a44bb821e6c01efd044b32e.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/9/3/9/939b17134a44bb821e6c01efd044b32e.png" \* MERGEFORMATINET  — замкнутой окрестностью точки  INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/f/c/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/f/c/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/f/c/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/f/c/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/f/c/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/f/c/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/f/c/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "https://upload.wikimedia.org/math/c/f/c/cfcd208495d565ef66e7dff9f98764da.png" \* MERGEFORMATINET .

9. Расширенные множества вещественных чисел

Расширенная числовая прямая  INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET   — множество вещественных чисел  INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/6/9/a/69a45f1e602cd2b2c2e67e41811fd226.png" \* MERGEFORMATINET , дополненное двумя элементами:  INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET  (положительная бесконечность) и  INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET  (отрицательная бесконечность), то есть

INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/d/4/2d48234eb24cb8efe8b43f96fd7fe819.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/d/4/2d48234eb24cb8efe8b43f96fd7fe819.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/d/4/2d48234eb24cb8efe8b43f96fd7fe819.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/d/4/2d48234eb24cb8efe8b43f96fd7fe819.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/d/4/2d48234eb24cb8efe8b43f96fd7fe819.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/d/4/2d48234eb24cb8efe8b43f96fd7fe819.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/d/4/2d48234eb24cb8efe8b43f96fd7fe819.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/d/4/2d48234eb24cb8efe8b43f96fd7fe819.png" \* MERGEFORMATINET

Бесконечности  INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/8/c/28cfe0a2608499ff5984a938e0d16d64.png" \* MERGEFORMATINET  и  INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img1.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/b/e/a/beab416080922c84a90ba092f7734fe5.png" \* MERGEFORMATINET , которые не являются числами в обычном понимании этого слова, также называют бесконечными числами, в отличие от вещественных чисел  INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/4/7/0/47056cfb066e350f01c59227710326fe.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/4/7/0/47056cfb066e350f01c59227710326fe.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/4/7/0/47056cfb066e350f01c59227710326fe.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/4/7/0/47056cfb066e350f01c59227710326fe.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/4/7/0/47056cfb066e350f01c59227710326fe.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/4/7/0/47056cfb066e350f01c59227710326fe.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/4/7/0/47056cfb066e350f01c59227710326fe.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/4/7/0/47056cfb066e350f01c59227710326fe.png" \* MERGEFORMATINET , называемых конечными числами. При этом для любого вещественного числа  INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/3/d/23da9a2f7a5a89587a2101b2113a1455.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/3/d/23da9a2f7a5a89587a2101b2113a1455.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/3/d/23da9a2f7a5a89587a2101b2113a1455.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/3/d/23da9a2f7a5a89587a2101b2113a1455.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/3/d/23da9a2f7a5a89587a2101b2113a1455.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/3/d/23da9a2f7a5a89587a2101b2113a1455.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/3/d/23da9a2f7a5a89587a2101b2113a1455.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/2/3/d/23da9a2f7a5a89587a2101b2113a1455.png" \* MERGEFORMATINET  по определению полагают выполненными неравенства

INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/a/9/e/a9ed80adb631a59cfa9c95e4a5f4fd5a.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/a/9/e/a9ed80adb631a59cfa9c95e4a5f4fd5a.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/a/9/e/a9ed80adb631a59cfa9c95e4a5f4fd5a.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/a/9/e/a9ed80adb631a59cfa9c95e4a5f4fd5a.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/a/9/e/a9ed80adb631a59cfa9c95e4a5f4fd5a.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/a/9/e/a9ed80adb631a59cfa9c95e4a5f4fd5a.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/a/9/e/a9ed80adb631a59cfa9c95e4a5f4fd5a.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img4.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/a/9/e/a9ed80adb631a59cfa9c95e4a5f4fd5a.png" \* MERGEFORMATINET

Cледует отличать расширенную числовую прямую  INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/0/3/3/033db2ba49e425ce1b76557525d73886.png" \* MERGEFORMATINET  от множества вещественных чисел, дополненного одной бесконечностью  INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img3.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/d/2/4/d245777abca64ece2d5d7ca0d19fddb6.png" \* MERGEFORMATINET . Такая система называется проективной прямой, и обозначается  INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/c/4/e/c4e871bc0521f03a8a97671116f98519.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/c/4/e/c4e871bc0521f03a8a97671116f98519.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/c/4/e/c4e871bc0521f03a8a97671116f98519.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/c/4/e/c4e871bc0521f03a8a97671116f98519.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/c/4/e/c4e871bc0521f03a8a97671116f98519.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/c/4/e/c4e871bc0521f03a8a97671116f98519.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/c/4/e/c4e871bc0521f03a8a97671116f98519.png" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://img2.wikia.nocookie.net/__cb1418846357/math/ru/images/math/c/4/e/c4e871bc0521f03a8a97671116f98519.png" \* MERGEFORMATINET

10. Ограниченные числовые множества. Примеры.

Множество X называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое число a, что  для любого х Х справедливо: x ≤ a (x ≥ a). Множество X называется ограниченным, если оно ограниченно сверху или снизу.

Приведем примеры, иллюстрирующие данные понятия.

1. Множество N натуральных чисел ограничено снизу и не ограничено сверху.

2. Любой конечный отрезок [a,b] или интервал (a,b) ограничен.

3. Числовая прямая R есть множество, не ограниченное ни сверху, ни снизу.

11. Определения супремума (sup) и инфимума (inf) множества. Примеры.

Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью или супремумом числового множества {x}  (обозначение sup{x}).

         Наибольшая из нижних граней называется точной нижней гранью или инфимумом числового множества  {x}  (обозначение inf{x}).

         Более точно, эти понятия выражаются следующими свойствами:

Супремум  sup{x} 1.  INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image004.gif" \* MERGEFORMATINET . 2.  INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image006.gif" \* MERGEFORMATINET .

Инфимум  inf{x} 1.  INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image008.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image008.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image008.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image008.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image008.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image008.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image008.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image008.gif" \* MERGEFORMATINET . 2.  INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "http://allmath.ru/highermath/mathanalis/matan/matan/matan1/clip_image010.gif" \* MERGEFORMATINET .

         Заметим, что sup{x} и inf{x} могут как принадлежать, так и не принадлежать числовому множеству {x}  .

         Теорема о существовании супремума и инфимума числового множества.

         Если числовое множество {x} не пусто и ограничено сверху, то у него существует sup{x}.

         Если числовое множество {x} не пусто и ограничено снизу, то у него существует inf{x}.

Пример.

найти супремум и инфимум множества А={1}U[-2;0)U(2;3) супремум(3) инфимум (-2)

12. Функция. Общее определение.

..соответствие  f, которое каждому элементу х  Х сопоставляет один и только один элемент у  У, называется функцией и записывается у = f(х), х  Х или f : Х  У.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Другими словами, функция — это правило, по которому каждому элементу одного множества (называемого областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений). Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представляются на рисунках в виде графиков.

13. Понятие числовой функции. График функции.

Числовая функция (в математике) — это функция, которая действует из одного числового пространства (множества) в другое числовое пространство (множество).[1] Числовые множества — это множества натуральных, рациональных, вещественных и комплексных чисел вместе с определёнными над соответствующими множествами алгебраическими операциями и с заданным на каждом множестве отношении линейным порядком. Числовые пространства — это числовые множества вместе с функцией расстояния, заданной на соответствующем множестве.

В самом общем случае, числовая функция — это функция, которая задана на произвольном (чаще всего) метрическом пространстве и имеет значения в области вещественных чисел. Такова, например, индикаторная или характеристическая функция множества. Другой пример числовой функции — это функция расстояния (или, что то же самое, метрика).