5. Розміщення

Означення. Упорядкована підмножина з п елементів даної множини М, що містить т елементів, де п ≤ т, називається розміщенням з т елементів по п.

Розміщення відрізняються один від одного або елементами, або їх порядком. Якщо m = n, маємо перестановку з т елементів, тобто перестановка є окремим випадком розміщення за умови, що т = п.

Знайдемо формулу для обчислення всіх можливих розміщень у множиш з т елементів по n.

Приклад 13. Скількома способами можна скласти денний розклад з п'яти різних уроків, якщо в класі вивчають 10 навчальних предметів?

Розв'язання

Маємо 10 різних можливостей запису в розклад першого уроку, бо кожний предмет можна поставити першим уроком.

Другим уроком можна поставити будь-який з 9 предметів, що залишилися. Отже, загальна кількість способів, за якими можна поставити два перших уроки, становить 10 ∙ 9 = 90.

Для третього уроку залишається Я можливостей вибору предмета, бо два вже поставлено в розклад. Тому для розподілу трьох перших уроків кількість різних способів дорівнюватиме 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720.

Для четвертого уроку залишається 7 можливостей вибору предметів, для п'ятого — 6, тому, щоб поставити п'ять уроків у розклад, існує 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = = 30 240 різних способів.

Розв'язуючи задачу, ми з множини, що містить 10 елементів, утворювали впорядковані підмножини, що містять по одному, два, три, чотири, п'ять елементів, тобто утворювали розміщення з 10 елементів відповідно по одному, два, три, чотири, п'ять. Кількість усіх можливих розміщень з m елементів по n елементів позначається .

Ми з'ясували, що

= 10, = 10 ∙ 9, = 10 ∙ 9 ∙ 8, = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7,

= 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6.

Аналізуючи закономірність утворення чисел , , , , . помічаємо, що:

• кожне з них дорівнює добутку стількох послідовних натуральних чисел, скільки елементів у розміщенні;

• на першому місці стоїть множник, що дорівнює кількості всіх елементів множини, з якої утворюються розміщення, а кожний наступний множник на одиницю менший від попереднього;

• останній множник дорівнює різниці між кількістю всіх елементів, з яких утворюється розміщення, і числом, на одиницю меншим від кількості елементів у розміщенні.

Припускаємо, що формула має вигляд:

= m (m – 1)(m – 2) … (m – (n – 1));

= m (m – 1)(m – 2) … (m – n + 1). (2)

(3)

6. Комбінації

Означення. Будь-яка підмножина з п елементів даної множини М, що містить т елементів, називається комбінацією з т елементів по п.

Порядок елементів у множині неістотний, комбінації відрізняються лише складом елементів. Кількість усіх можливих комбінацій з т елементів по n позначається символом .

Комбінація відрізняється від розміщення тим, що у цій підмножині неістотним є порядок елементів.

Приклад 14. Скількома способами можна призначити чотирьох вартових із 30 солдатів?

Розв'язання

Будь-які дві групи відрізняються лише складом солдат, порядок у групі неістотний. Маємо справу з різними підмножинами з чотирьох елементів даної множини, що складається з 30 елементів. Будь-яка з цих підмножин є комбінацією з 30 елементів по 4. Якби ця підмножина була упорядкованою, то кількість таких груп можна знайти за формулою . У кожній з упорядкованих множин можна виконати Р₄ перестановок, тому кількість усіх можливих комбінацій .

У загальному випадку кількість комбінацій з т елементів по л елементів можна обчислити за формулою:

(4)

Перетворимо цю формулу, використавши формули 2 і 1.

.

. (5)

Отже, чотирьох вартових із 30 солдатів можна вибрати способами.

Або за формулою 4: .

Властивості комбінацій

1. 

2. .

3. .

Приклад 15. На площині позначено точок, з яких ніякі три не лежать на одній прямій. Скільки різних прямих можна провести через ці точки?